TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 365

Bestimmen sie einen Wert $a\in N$ sodaß die quadratische Form $3x^{2}+axy+2xz+2y^{2}+2yz+2z$ positiv definit ist.

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Hilfreiches

Hauptminorenkriterium

Hauptminorenkriterium

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_{k}$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

$A={\begin{pmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{pmatrix}}$

1. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}$

2. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2\\2&2\end{vmatrix}}$

3. Hauptminor: ${\begin{vmatrix}4&2&2\\2&2&3\\2&3&14\end{vmatrix}}$

Lösungsversuch Me.Name

Im orangen Folterbuch findet man hierzu etwas im Kapitel 6.1 Funktionen in mehreren Variablen und das Beispiel 6.1f ist in etwa die Angabe.

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1. Symetrische Matrix gestimmen:

$q(x,y,z)=(x,y,z)*{\begin{array}{ccc}&\left({\begin{array}{ccc}?&?&?\\?&?&?\\?&?&?\\\end{array}}\right)\end{array}}*{\begin{array}{ccc}&\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}}\right)\end{array}}=3x^{2}+axy+2xz+2y^{2}+2yz+2z$

=> die Matix kann nur so: ${\begin{array}{ccc}&\left({\begin{array}{ccc}3&a/2&1\\a/2&2&1\\1&1&2\\\end{array}}\right)\end{array}}$ aussehen.

$(x,y,z)*{\begin{array}{ccc}&\left({\begin{array}{ccc}3&a/2&1\\a/2&2&1\\1&1&2\\\end{array}}\right)\end{array}}*{\begin{array}{ccc}&\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}}\right)\end{array}}={\begin{array}{ccc}&\left({\begin{array}{ccc}3x&ax/2&1x\\ay/2&2y&1y\\1z&1z&2z\\\end{array}}\right)\end{array}}*{\begin{array}{cc}&\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}}\right)\end{array}}=3x^{2}+axy+2xz+2y^{2}+2yz+2z$

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2)

Eine Matrix ist positiv definit wenn alle Hauptminoren positiv sind.

1. Minor der Matrix ist $M_{1}=|3|=3\Rightarrow {\text{positiv}}$

2. Minor der Matrix ist $M_{2}={\begin{array}{cc}&\left|{\begin{array}{cc}3&a/2\\a/2&2\\\end{array}}\right|\end{array}}=(3*2)-({\frac {a}{2}}*{\frac {a}{2}})=6-{\frac {a^{2}}{4}}>0\Rightarrow 24>a^{2}\Rightarrow |a|<{\sqrt {24}}$

3. Minor der Matrix ist $M_{3}={\begin{array}{ccc}&\left|{\begin{array}{ccc}3&a/2&1\\a/2&2&1\\1&1&2\\\end{array}}\right|\end{array}}=3*{\begin{array}{cc}&\left|{\begin{array}{cc}2/1\\1/2\\\end{array}}\right|\end{array}}-{\frac {a}{2}}*{\begin{array}{cc}&\left|{\begin{array}{cc}a/2&1\\1&2\\\end{array}}\right|\end{array}}+1*{\begin{array}{cc}&\left|{\begin{array}{cc}a/2&2\\1&1\\\end{array}}\right|\end{array}}=7-{\frac {a^{2}}{2}}+a>0\Rightarrow -a^{2}+2a+14>0\Rightarrow a_{1}=1-{\sqrt {15}};\,a_{2}=1+{\sqrt {15}}$

Also dass unsere Matix positiv definit ist muss $|a|<{\sqrt {24}}$ und $1-{\sqrt {15}}<a<1+{\sqrt {15}}$ erfüllen somit können wir z.B.: -2 od. 2 nehmen