TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 301

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: $y^{\prime }=si{n}^2(x)co{s}^2(y)$

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Hilfreiches

Satz von Moivre: $[cos(\varphi )+i\cdot sin(\varphi ){]}^n=cos(n\varphi )+i\cdot sin(n\varphi )=e^{in\varphi }$

Trigonometrische Sätze:

$sin(2\varphi )=2sin(\varphi )cos(\varphi )$

$1=si{n}^2(\varphi )+co{s}^2(\varphi )$

Grundintegral:

$\int \frac{d\varphi }{co{s}^2(\varphi )}=\int (1+ta{n}^2(\varphi )d\varphi =tan(\varphi )+c$ (für $\frac{-\pi }{2}<\varphi <\frac{\pi }{2}$)

Lösungsvorschlag von Thinklex

--Thinklex 22:37, 22. Jun. 2021 (CEST)

Die nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung ist seperabel und wird auch so gelöst:

$y^{\prime }=si{n}^2(x)co{s}^2(y)$
$\frac{dy}{dx}=si{n}^2(x)co{s}^2(y)$
$\frac{dy}{co{s}^2(y)}=si{n}^2(x)dx$
$\int \frac{1}{co{s}^2(y)}dy=\int si{n}^2(x)dx$

Die linke Seite ist ein Grundintegral und kann somit direkt gelöst werden, die rechte Seite kann wie folg umgeformt werden, nach dem Satz von Moivre und den trigonometrischen Sätzen:

$[cos(x)+isin(x){]}^2=cos(2x)+isin(2x)$
$co{s}^2(x)+2\cdot cos(x)\cdot i\cdot sin(x)+(i{)}^2\cdot si{n}^2(x)=cos(2x)+i\cdot 2sin(\varphi )cos(\varphi )$
$co{s}^2(x)-si{n}^2(x)=cos(2x)$
$1-si{n}^2(x)-si{n}^2(x)=cos(2x)$
$2\cdot si{n}^2(x)=1-cos(2x)$
$si{n}^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}$

Nun kann eingesetzt und integriert werden:

$\int \frac{1}{co{s}^2(y)}dy=\int si{n}^2(x)dx$
$\int \frac{1}{co{s}^2(y)}dy=\int \frac{1-cos(2x)}{2}dx$
$tan(y)=\frac{x-\frac{sin(2x)}{2}}{2}+C$
$y=arctan(\frac{x-\frac{sin(2x)}{2}}{2}+C)$