TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 358

Man finde die allgemeine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

$u_{t}=u_{x}+2u_{y}-u_{z}$.

Welche Lösung erfüllt die Anfangsbedingung $u(x,y,z,0)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ?

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Lösungsvorschlag

$u_{x}+2u_{y}-u_{z}-u_{t}=0$

Das charakteristische Differenzialgleichungssystem lautet

${\dot {x}}=1$, ${\dot {y}}=2$, ${\dot {z}}=-1$, ${\dot {t}}=-1$

aus dem mensch folgendes System aus Phasen-Differenzialgleichungen erhält:

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-1$, ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-2$ und ${\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=1$

Die erste dieser Differenzialgleichung lässt sich durch

$x=-t+c_{1}$ bzw. $c_{1}=x+t$

lösen, was auf folgendes erste Integral führt:

$\varphi _{1}(x,y,z,t)=x+t$

Analog dazu folgen

$\varphi _{2}(x,y,z,t)=y+2t$ und $\varphi _{3}(x,y,z,t)=z-t$

und somit als allgemeine Lösung

$u(x,y,z,t)=F(x+t,y+2t,z-t)$

Durch die Anfangsbedingung $u(x,y,z,0)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ergibt sich als spezielle Lösung

${\begin{aligned}u(x,y,z,t)&=(x+t)^{2}+(y+2t)^{2}+(z-t)^{2}\\&=x^{2}+2xt+t^{2}+y^{2}+4yt+4t^{2}+z^{2}-2zt+t^{2}\\&=x^{2}+y^{2}+z^{2}+6t^{2}+2t(x+2y-z)\end{aligned}}$