TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 361

Man bestimme die allgemeine Lösung der linearen partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung
$xu_{x}-yu_{y}=xy.$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Hier ist die Methode der Charakteristiken zu verwenden, zu finden im Buch zur Lehrveranstaltung Mathematik für Informatik, Vierte erweiterte Auflage (ISBN 978-3-88538-117-4), Kapitel 7.9 (Partielle Differentialgleichungen), 2. Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster ordnung.

Lösungsvorschlag von Thinklex

--Thinklex 18:06, 22. Jun. 2021 (CEST)

Die Angabe hat die Form des allgemeinen Falles der Part. Dgl: $a(x,y)u_{x}+b(x,y)u_{y}+c(x,y)u+d(x,y)=0$

Somit kann diese DGL gelöst werden, indem zuerst die dazugehörige Rumpf-Dgl gelöst wird und mit Hilfe dieser transformiert wird:

Rumpf-Dgl: $xu_{x}-yu_{y}=0$

Charakteristisches Dgl-System:

${\dot {x}}=x,{\dot {y}}=y$

Lösen:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-y}{x}}$
${\frac {dy}{-y}}={\frac {dx}{x}}$
$C-ln(y)=ln(x)$
$C=ln(x)+ln(y)=ln(xy)$
${\tilde {C}}=xy$

Da ${\tilde {C}}=xy$ eine Lösung des Charakteristischen Systems ist und somit ein erstes Integral ist, können wir dieses als eine Substitution verwenden:

$\xi ={\tilde {C}}=xy$

Als zweite Substitution können wir zum Beispiel $\eta =y$ verwenden (ist einfach).

Somit sind x&y: $y=\eta ,x={\frac {\xi }{\eta }}$

Somit kann u nun folgendermaßen berechnet werden (Eingesetzt in die Gleichung, wobei auch die rechte Seite transformiert wurde):

$x(U_{\xi }\xi _{x}+U_{\eta }\eta _{x})-y(U_{\xi }\xi _{y}+U_{\eta }\eta _{y})=\eta {\frac {\xi }{\eta }}$
$x(U_{\xi }y+U_{\eta }0)-y(U_{\xi }x+U_{\eta }1)=\xi$
$U_{\xi }(xy-yx)+yU_{\eta }=\xi$

Transformiere nun auch $y=\eta$:

$U_{\eta }={\frac {\xi }{\eta }}$
$U=\int {\frac {\xi }{\eta }}d\eta =\xi ln(\eta )+C(\xi )$
$u(x,y)=xyln(y)+C(xy)$