TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 428

Mit Hilfe der (a) Sehnentrapezformel, (b) Simpsonschen Regel berechne man näherungsweise $\pi$ aus der Gleichung

${\frac {\pi }{4}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}$.

Dabei verwende man eine Unterteilung des Integrationsintervalls bei (a) in 2, 5 und 10 Teilintervalle, bei (b) in 10 Teilintervalle.

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{{Beispiel|1=
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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Sehnentrapezformel

2 Teilintervalle

Die äquidistanten Stützstellen sind:
$x_{0}=0,x_{1}=0.5,x_{2}=1$

Die Werte der Funktion an dieser Stelle sind:
$y_{i}={\frac {1}{1+x_{i}^{2}}}\implies y_{0}=1,y_{1}=0.8,y_{2}=0.5$

Nach dem Einsetzen erhalten wir:
${\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\frac {1}{4}}(1+2\cdot 0.8+0.5)\\\pi &=1.5+1.6=3.1\end{aligned}}$

5 Teilintervalle

Die äquidistanten Stützstellen sind:
$x_{0}=0,x_{1}=0.2,x_{2}=0.4,x_{3}=0.6,x_{4}=0.8,x_{5}=1$

Die Werte der Funktion an dieser Stelle sind:
$y_{i}={\frac {1}{1+x_{i}^{2}}}\implies y_{0}=1,y_{1}=0.9615,y_{2}=0.862,y_{3}=0.7353,y_{4}=0.6098,y_{5}=0.5$

Nach dem Einsetzen erhalten wir:
${\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\frac {1}{10}}(1+2\cdot 0.9615+2\cdot 0.862+\ldots +0.5)\\{\frac {\pi }{4}}&={\frac {1}{10}}\cdot 7.8372\\\pi &=0.78372\cdot 4=3.13488\end{aligned}}$

10 Teilintervalle

Die äquidistanten Stützstellen sind:
$x_{0}=0,x_{1}=0.1,\ldots ,x_{9}=0.9,x_{10}=1$

Die Werte der Funktion an dieser Stelle sind:
$y_{i}={\frac {1}{1+x_{i}^{2}}}\implies y_{0}=1,y_{1}=0.9901,y_{2}=0.9615,y_{3}=0.9174,y_{4}=0.862,y_{5}=0.8,$
$y_{6}=0.7353,y_{7}=0.6711,y_{8}=0.6098,y_{9}=0.5524,y_{10}=0.5$

Nach dem Einsetzen erhalten wir:
${\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\frac {1}{20}}(1+2\cdot 0.9901+2\cdot 0.9615+\ldots +0.5)\\\pi &={\frac {1}{5}}\cdot 15.6992=3.13984\end{aligned}}$

Simpson'sche Regel

10 Teilintervalle

Stützstellen und Werte wie oben.

Nach dem Einsetzen erhalten wir:
${\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\frac {1}{30}}(1+4\cdot 0.9901+2\cdot 0.9615+4\cdot 0.9175+\ldots +4\cdot 0.5524+0.5)\\{\frac {\pi }{4}}&={\frac {1}{30}}\cdot 23.5612\\\pi &=3.141493\end{aligned}}$

Referenzen

Buch Seite: 410 ff