TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 54

Berechnen Sie die Extrema der Funktion $f(x,y)=x+y$ unter der Nebenbedingung $x^{2}+y^{2}=1$ mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

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Hilfreiches

Lagrange-Multiplikator

Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 11:38, 1. Okt. 2021 (CEST)

Logische Überlegung zu dem zu erwartenden Ergebnis

Mit $x^{2}+y^{2}=1$ bewegen wir uns am Einheitskreis. Die Funktion $f(x,y)=x+y$ wird größer je weiter weg nach "rechts-oben" man kommt. Also wird wohl im ersten Quadranten bei 45° ein Maximum sein. Gegenüber im dritten Quadranten ein Minimum.

Rechnung

Erst die allgemeine Lagrange Funktion aufstellen.

Hauptbedingung: $f(x,y)=x+y$

Nebenbedingung implizit: $x^{2}+y^{2}=1$

Nebenbedingungsfunktion: $g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1{\text{ (}}=0{\text{)}}$

$\Lambda (x,y,\lambda )=x+y+\lambda \cdot (x^{2}+y^{2}-1)$

Dann dessen Gradienten Null setzen:

${\begin{matrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&=&1+2\lambda x&=&0&\Longrightarrow &\lambda =-{\frac {1}{2x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}&=&1+2\lambda y&=&0&\Longrightarrow &2\lambda y=-1\\{\frac {\partial }{\partial \lambda }}&=&x^{2}+y^{2}-1&=&0&\Longrightarrow &x^{2}+y^{2}=1\end{matrix}}$

$2{\frac {-1}{2x}}y=-1\Longrightarrow {\frac {y}{x}}=1\Longrightarrow x=y$

Das schaut schon sehr nach den 45° Punkten aus.

$y^{2}+y^{2}=1\Longrightarrow y^{2}=1/2\Longrightarrow y=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}$

$\Longrightarrow x=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}$

Allerdings ist hier zu beachten, dass $x$ und $y$ immer gleichzeitig entweder positiv oder negativ sind. Das ergibt sich aus dem vorherigen $x=y$.

Also sind die Extrema bei $(x,y)=(-{\frac {1}{\sqrt {2}}},-{\frac {1}{\sqrt {2}}})$ und $(x,y)=({\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {2}}})$.