TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 54

Berechnen Sie die Extrema der Funktion $f(x,y)=x+y$ unter der Nebenbedingung $x^2+y^2=1$ mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

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Hilfreiches

Lagrange-Multiplikator

Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 11:38, 1. Okt. 2021 (CEST)

Logische Überlegung zu dem zu erwartenden Ergebnis

Mit $x^2+y^2=1$ bewegen wir uns am Einheitskreis. Die Funktion $f(x,y)=x+y$ wird größer je weiter weg nach "rechts-oben" man kommt. Also wird wohl im ersten Quadranten bei 45° ein Maximum sein. Gegenüber im dritten Quadranten ein Minimum.

Rechnung

Erst die allgemeine Lagrange Funktion aufstellen.

Hauptbedingung: $f(x,y)=x+y$

Nebenbedingung implizit: $x^2+y^2=1$

Nebenbedingungsfunktion: $g(x,y)=x^2+y^2-1\text{ (}=0\text{)}$

$\Lambda (x,y,\lambda )=x+y+\lambda \cdot (x^2+y^2-1)$

Dann dessen Gradienten Null setzen:

$\begin{array}{ccccccc}\frac{\partial }{\partial x}& =& 1+2\lambda x& =& 0& ⟹& \lambda =-\frac{1}{2x}\\ \frac{\partial }{\partial y}& =& 1+2\lambda y& =& 0& ⟹& 2\lambda y=-1\\ \frac{\partial }{\partial \lambda }& =& x^2+y^2-1& =& 0& ⟹& x^2+y^2=1\end{array}$

$2\frac{-1}{2x}y=-1⟹\frac{y}{x}=1⟹x=y$

Das schaut schon sehr nach den 45° Punkten aus.

$y^2+y^2=1⟹y^2=1/2⟹y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$⟹x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Allerdings ist hier zu beachten, dass $x$ und $y$ immer gleichzeitig entweder positiv oder negativ sind. Das ergibt sich aus dem vorherigen $x=y$.

Also sind die Extrema bei $(x,y)=(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$ und $(x,y)=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$.