TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 58

Man bestimme denjenigen Punkt auf der Ebene $z=x+y$, der von dem Punkt $(1,0,0)$ den kleinsten (euklidischen) Abstand hat mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

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Hilfreiches

Lagrange-Multiplikator

Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 12:27, 1. Okt. 2021 (CEST)

Bedingungen finden

Optimieren wollen wir den Abstand zum Punkt $(1,0,0)$.

Die Nebenbedingung ist, dass es auf der Fläche $z=x+y$ liegen muss.

Die Funktion für den Abstand zwischen zwei Punkten ist: $||A-B||={\sqrt {(A_{x}-B_{x})^{2}+(A_{y}-B_{y})^{2}+(A_{z}-B_{z})^{2}}}$

Also ist unsere Hauptbedingung die Abstandsfunktion wobei ein Punkt auf $(1,0,0)$ fixiert ist: $f(A)=||A-(1,0,0)||=f(A_{x},A_{y},A_{z})=f(x,y,z)={\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Jetzt noch die implizite Nebenbedingung auf $=0$ bringen: $g(x,y,z)=x+y-z$

Lagrange

$\Lambda (x,y,z,\lambda )={\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}+\lambda (x+y-z)$

${\begin{matrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&=&{\frac {1}{\not 2{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}\cdot \not 2(x-1)+\lambda &=0&\Longrightarrow &{\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=-{\frac {\lambda }{x-1}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}&=&{\frac {1}{\not 2{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}\cdot \not 2y+\lambda &=0\\{\frac {\partial }{\partial z}}&=&{\frac {1}{\not 2{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}\cdot \not 2z-\lambda &=0\\{\frac {\partial }{\partial \lambda }}&=&x+y-z&=0\end{matrix}}$

$-{\frac {\lambda }{x-1}}\cdot y+\lambda =0\Longrightarrow \lambda (1-{\frac {y}{x-1}})=0\Longrightarrow {\frac {y}{x-1}}=1\Longrightarrow y=x-1$

$-{\frac {\lambda }{x-1}}\cdot z-\lambda =0\Longrightarrow -\lambda (1+{\frac {z}{x-1}})=0\Longrightarrow {\frac {z}{x-1}}=-1\Longrightarrow z=1-x$

$x+(x-1)-(1-x)=0\Longrightarrow x+x-1-1+x=0\Longrightarrow 3x-2=0\Longrightarrow x={\frac {2}{3}}$

$y=x-1={\frac {2}{3}}-1=-{\frac {1}{3}}$

$z=1-x=1-{\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}$

Die Lösung lautet also: $({\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}})$

Gegenprüfung

Ist der Punkt auf der Ebene?

$z=x+y\Longrightarrow {\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3}}\checkmark$

Klingt der Abstand zum Punkt plausibel?

${\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}={\sqrt {({\frac {2}{3}}-1)^{2}+(-{\frac {1}{3}})^{2}+({\frac {1}{3}})^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}{\tilde {=}}0.5$

Kann schon sein... Wird schon passen ^^'