TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 58

Man bestimme denjenigen Punkt auf der Ebene $z=x+y$, der von dem Punkt $(1,0,0)$ den kleinsten (euklidischen) Abstand hat mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

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Hilfreiches

Lagrange-Multiplikator

Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 12:27, 1. Okt. 2021 (CEST)

Bedingungen finden

Optimieren wollen wir den Abstand zum Punkt $(1,0,0)$.

Die Nebenbedingung ist, dass es auf der Fläche $z=x+y$ liegen muss.

Die Funktion für den Abstand zwischen zwei Punkten ist: $||A-B||=\sqrt{(A_x-B_x{)}^2+(A_y-B_y{)}^2+(A_z-B_z{)}^2}$

Also ist unsere Hauptbedingung die Abstandsfunktion wobei ein Punkt auf $(1,0,0)$ fixiert ist: $f(A)=||A-(1,0,0)||=f(A_x,A_y,A_z)=f(x,y,z)=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2+z^2}$

Jetzt noch die implizite Nebenbedingung auf $=0$ bringen: $g(x,y,z)=x+y-z$

Lagrange

$\Lambda (x,y,z,\lambda )=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2+z^2}+\lambda (x+y-z)$

$\begin{array}{cccccc}\frac{\partial }{\partial x}& =& \frac{1}{2\sqrt{(x-1{)}^2+y^2+z^2}}\cdot 2(x-1)+\lambda & =0& ⟹& \frac{1}{\sqrt{(x-1{)}^2+y^2+z^2}}=-\frac{\lambda }{x-1}\\ \frac{\partial }{\partial y}& =& \frac{1}{2\sqrt{(x-1{)}^2+y^2+z^2}}\cdot 2y+\lambda & =0\\ \frac{\partial }{\partial z}& =& \frac{1}{2\sqrt{(x-1{)}^2+y^2+z^2}}\cdot 2z-\lambda & =0\\ \frac{\partial }{\partial \lambda }& =& x+y-z& =0\end{array}$

$-\frac{\lambda }{x-1}\cdot y+\lambda =0⟹\lambda (1-\frac{y}{x-1})=0⟹\frac{y}{x-1}=1⟹y=x-1$

$-\frac{\lambda }{x-1}\cdot z-\lambda =0⟹-\lambda (1+\frac{z}{x-1})=0⟹\frac{z}{x-1}=-1⟹z=1-x$

$x+(x-1)-(1-x)=0⟹x+x-1-1+x=0⟹3x-2=0⟹x=\frac{2}{3}$

$y=x-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$

$z=1-x=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

Die Lösung lautet also: $(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3})$

Gegenprüfung

Ist der Punkt auf der Ebene?

$z=x+y⟹\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}✓$

Klingt der Abstand zum Punkt plausibel?

$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2+z^2}=\sqrt{(\frac{2}{3}-1{)}^2+(-\frac{1}{3}{)}^2+(\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\widetilde{=}0.5$

Kann schon sein... Wird schon passen ^^'