TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 90

Berechnen Sie das folgende Bereichsintegral:

$\iiint _{B}y\,dx\,dy\,dz$

, wobei $B\in \mathbb {R} ^{3}$ die Kugel mit Mittelpunkt $(0,3,0)$ und Radius $5$ sei.

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{{Beispiel|1=
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{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 11:57, 13. Okt. 2021 (CEST)

Eine Kugel ist definiert durch

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Unser Bereich ist eine Kugel mit Ursprung $(0,3,0)$ und Radius $5$ Also:

$5={\sqrt {x^{2}+(y-3)^{2}+z^{2}}}$

Das ist als Integralgrenze eher ungünstig. Probieren wir das mal in Polarform.

$x=r\cdot \cos \phi \cdot \cos \theta$

$y=r\cdot \cos \phi \cdot \sin \theta$

$z=r\cdot \sin \phi$

$\iiint _{B}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{5}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(r,\phi ,\theta )\,d\theta \,d\phi \,dr$

Koordinaten Transformation $y-3$

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbf {A}$

$x^{(A)}=x$

$y^{(A)}=y-3$

$z^{(A)}=z$

Koordinaten Transformation in Polar

$\mathbf {A} \longrightarrow \mathbf {P}$

$r={\sqrt {(x^{(A)})^{2}+(y^{(A)})^{2}+(z^{(A)})^{2}}}={\sqrt {x^{2}+(y-3)^{2}+z^{2}}}$

Yo ich geb auf... keinen Plan