TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 90

Berechnen Sie das folgende Bereichsintegral:

${\iiint }_{B}ydxdydz$

, wobei $B\in {ℝ}^3$ die Kugel mit Mittelpunkt $(0,3,0)$ und Radius $5$ sei.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 11:57, 13. Okt. 2021 (CEST)

Eine Kugel ist definiert durch

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Unser Bereich ist eine Kugel mit Ursprung $(0,3,0)$ und Radius $5$ Also:

$5=\sqrt{x^2+(y-3{)}^2+z^2}$

Das ist als Integralgrenze eher ungünstig. Probieren wir das mal in Polarform.

$x=r\cdot \cos \varphi \cdot \cos \theta$

$y=r\cdot \cos \varphi \cdot \sin \theta$

$z=r\cdot \sin \varphi$

${\iiint }_{B}f(x,y,z)dxdydz={\int }_0^5{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(r,\varphi ,\theta )d\theta d\varphi dr$

Koordinaten Transformation $y-3$

${ℝ}^3⟶𝐀$

$x^{(A)}=x$

$y^{(A)}=y-3$

$z^{(A)}=z$

Koordinaten Transformation in Polar

$𝐀⟶𝐏$

$r=\sqrt{(x^{(A)}{)}^2+(y^{(A)}{)}^2+(z^{(A)}{)}^2}=\sqrt{x^2+(y-3{)}^2+z^2}$

Yo ich geb auf... keinen Plan