Ein RLC-Schwingkreis besteht aus einer Induktivität L von 0.05 Henry, einem Widerstand R von 20 Ohm, einem Kondensator C von 100 Mikrofarad, sowie einer elektromotorischen Kraft (Batterie) von
, die in Reihe geschalten sind.
Bestimmt den Strom
zu einem beliebigen Zeitpunkt
unter den Anfangsbedingungen
und der Bedingung, dass für die Ladung
gilt mit
. Wählen Sie zu der Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten die Ansatzmethode.
Anleitung: Es gilt: ![{\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{\tau =0}^{t}i(\tau )d\tau =E(t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2067ceaeb230a2365fd43150d8c20d3e&mode=mathml)
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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
Des Weiteren ist der folgende unbestimmte Ansatz vonnöten:
oder
--Thinklex 10:24, 23. Jun. 2021 (CEST)
Disclaimer: Die genauen Ergebnisse sind mir unbekannt, also es kann leicht sein, dass ich mich verrechnet habe, aber der ungefähre Lösungsansatz dürfte so stimmen:
Aus der Anleitung können wir uns eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, für die Ladung (
) basteln,
da wir wissen, dass die Ladung das Integral von dem Strom über die Zeit ist:
![{\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{\tau =0}^{t}i(\tau )d\tau =E(t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2067ceaeb230a2365fd43150d8c20d3e&mode=mathml)
![{\displaystyle L{\dot {i}}+Ri+{\frac {1}{C}}(q(t)-q(0))=E(t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c8424017464a85952dd9b90e21d25da7&mode=mathml)
![{\displaystyle L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+{\frac {1}{C}}q=E(t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b061c7d2e11fd9eb0875a0f8ac1dab63&mode=mathml)
Diese DGL können wir mit der Ansatzmethode lösen:
Die charakteristische Gleichung:
![{\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {-R\pm {\sqrt[{2}]{R^{2}-4L{\frac {1}{C}}}}}{2L}}={\frac {-20\pm 40i}{10^{-1}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=34799544112922b1e554f2c803201e0a&mode=mathml)
, ![{\displaystyle \lambda _{2}=-200-400i}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=39aac10085c2c1c183965d62e9962c32&mode=mathml)
Somit ergibt sich die homogene Lösung für die Ladung:
![{\displaystyle q_{h}=e^{-200t}(C_{1}cos(400t)+C_{2}sin(400t))}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3077490b92ae66f479576b0a18be67ff&mode=mathml)
Die partikuläre Lösung erfolgt nun über die Methode des unbestimmten Ansatzes:
![{\displaystyle s(t)=100cos(200t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=44b1169b2bd22c4b4f4a4c08bcd1c35c&mode=mathml)
![{\displaystyle q_{p}=Asin(rt)+Bcos(rt)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e02565ff2e1702e111b49772e3042395&mode=mathml)
![{\displaystyle {\dot {q_{p}}}=Arcos(rt)-Brsin(rt)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f6c4f3b9f395532e764a026124f6c6c5&mode=mathml)
![{\displaystyle {\ddot {q_{p}}}=-Ar^{2}sin(rt)-Br^{2}cos(rt)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=beff81c003784c4cc185c5e3e2b1619c&mode=mathml)
Eingesetzt in die Gleichung ergibt das:
![{\displaystyle L(-Ar^{2}sin(rt)-Br^{2}cos(rt))+R(Arcos(rt)-Brsin(rt))+{\frac {1}{C}}(Asin(rt)+Bcos(rt))=100cos(200t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bd928ff80a285ec526d2915572c64d72&mode=mathml)
Umgeformt:
![{\displaystyle sin(rt)(-LAr^{2}-RBr+{\frac {1}{C}}A)+cos(rt)(-LBr^{2}+RAr+B{\frac {1}{C}})=100cos(200t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cc8f4e25972d2e89f6328c72a1668a2a&mode=mathml)
Wenn wir uns die beiden Seiten ansehen, können wir daraus unter anderem folgern, dass die Konstante vor dem
0 sein muss, weiters
und die Konstante vor dem
100 sein sollte. Dies ergibt die Gleichungen:
![{\displaystyle 0=-LA200^{2}-RB200+{\frac {1}{C}}A}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d1d116396026d32d4f09aa5ebd887dfd&mode=mathml)
![{\displaystyle 100=-LB200^{2}-RA200+B{\frac {1}{C}}B}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c3fa15a6c3a5a26c874d5e378ca587d6&mode=mathml)
Falls ich mich nun beim Lösen dieses Systems nicht verrechnet habe, ergibt dies für A und B:
Und somit die partikuläre Lösung:
![{\displaystyle q_{p}=10^{6}cos(200t)+2\cdot 10^{6}sin(200t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d81d8a03c8c8ef03598bb85278d75f44&mode=mathml)
Und die Gesamtlösung für die Ladung:
![{\displaystyle q(t)=e^{-200t}(C_{1}cos(400t)+C_{2}sin(400t))+10^{6}cos(200t)+2\cdot 10^{6}sin(200t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f10e9a4856c33d62751f6c52d09aeb80&mode=mathml)
Durch die Bedingung
können wir uns
ausrechnen:
![{\displaystyle q(0)=0=C_{1}+0+10^{6}+0\rightarrow C_{1}=-10^{6}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=653c73a02dcbfc29425ba6a05acbd493&mode=mathml)
Wenn wir nun nach t ableiten, ergibt dies die Lösung für
:
![{\displaystyle i(t)={\dot {q(t)}}=-200e^{-200t}(-10^{6}cos(400t)+C_{2}sin(400t))+e^{-200t}(10^{6}\cdot 400sin(400t)+C_{2}\cdot 400cos(400t))-10^{6}\cdot 200sin(200t)+10^{6}\cdot 400cos(200t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=696aed84fb2d80809b1b8274288b8b12&mode=mathml)
Nun wird noch die Anfangsbedingung
verwendet um
zu berechnen (einsetzen und ausrechnen) ![{\displaystyle \rightarrow C_{2}=-1.5\cdot 10^{6}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7506e782d5435ccce86099c1fb5d376a&mode=mathml)
Somit ergibt sich die Lösung:
![{\displaystyle i(t)={\dot {q(t)}}=-200e^{-200t}(-10^{6}cos(400t)-1.5\cdot 10^{6}sin(400t))+e^{-200t}(10^{6}\cdot 400sin(400t)-1.510^{6}\cdot 400cos(400t))-10^{6}\cdot 200sin(200t)+10^{6}\cdot 400cos(200t)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0c1e99fb58a9b3b9103e457a6e9700d2&mode=mathml)