TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 323

Ein RLC-Schwingkreis besteht aus einer Induktivität L von 0.05 Henry, einem Widerstand R von 20 Ohm, einem Kondensator C von 100 Mikrofarad, sowie einer elektromotorischen Kraft (Batterie) von $E=E(t)=100cos(200t)$, die in Reihe geschalten sind.
Bestimmt den Strom $i=i(t)$ zu einem beliebigen Zeitpunkt $t>0$ unter den Anfangsbedingungen $i(0)=0$ und der Bedingung, dass für die Ladung $q(t)=\int \limits _{\tau =0}^{t}i(\tau )d\tau$ gilt mit $q(0)=0$. Wählen Sie zu der Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten die Ansatzmethode.

Anleitung: Es gilt: $L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{\tau =0}^{t}i(\tau )d\tau =E(t)$

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Hilfreiches

Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: $y_{h}={\begin{cases}C_{1}e^{\lambda _{1}t}+C_{2}e^{\lambda _{2}t}&{\text{Wenn }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2},{\text{ und beide reell}}\\(C_{1}+C_{2}t)e^{\lambda t}&{\text{Wenn }}\lambda _{1}=\lambda _{2}{\text{ und beide reell}}\\e^{\alpha t}(C_{1}cos(\beta t)+C_{2}sin(\beta t))&{\text{Wenn }}\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta \end{cases}}$

Des Weiteren ist der folgende unbestimmte Ansatz vonnöten:

$s(t)=sin(rt)$ oder $cos(rt)$ $y_{p}=Asin(rt)+Bcos(rt)$

Lösungsvorschlag von Thinklex

--Thinklex 10:24, 23. Jun. 2021 (CEST)

Disclaimer: Die genauen Ergebnisse sind mir unbekannt, also es kann leicht sein, dass ich mich verrechnet habe, aber der ungefähre Lösungsansatz dürfte so stimmen:
Aus der Anleitung können wir uns eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, für die Ladung ($q(t)$) basteln, da wir wissen, dass die Ladung das Integral von dem Strom über die Zeit ist:

$L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{\tau =0}^{t}i(\tau )d\tau =E(t)$
$L{\dot {i}}+Ri+{\frac {1}{C}}(q(t)-q(0))=E(t)$
$L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+{\frac {1}{C}}q=E(t)$

Diese DGL können wir mit der Ansatzmethode lösen:
Die charakteristische Gleichung:

$L\lambda ^{2}+R\lambda +{\frac {1}{C}}=0$

$\lambda _{1,2}={\frac {-R\pm {\sqrt[{2}]{R^{2}-4L{\frac {1}{C}}}}}{2L}}={\frac {-20\pm 40i}{10^{-1}}}$
$\lambda _{1}=-200+400i$, $\lambda _{2}=-200-400i$

Somit ergibt sich die homogene Lösung für die Ladung:

$q_{h}=e^{-200t}(C_{1}cos(400t)+C_{2}sin(400t))$

Die partikuläre Lösung erfolgt nun über die Methode des unbestimmten Ansatzes:

$s(t)=100cos(200t)$

$q_{p}=Asin(rt)+Bcos(rt)$
${\dot {q_{p}}}=Arcos(rt)-Brsin(rt)$
${\ddot {q_{p}}}=-Ar^{2}sin(rt)-Br^{2}cos(rt)$

Eingesetzt in die Gleichung ergibt das:

$L(-Ar^{2}sin(rt)-Br^{2}cos(rt))+R(Arcos(rt)-Brsin(rt))+{\frac {1}{C}}(Asin(rt)+Bcos(rt))=100cos(200t)$

Umgeformt:

$sin(rt)(-LAr^{2}-RBr+{\frac {1}{C}}A)+cos(rt)(-LBr^{2}+RAr+B{\frac {1}{C}})=100cos(200t)$

Wenn wir uns die beiden Seiten ansehen, können wir daraus unter anderem folgern, dass die Konstante vor dem $sin(rt)$ 0 sein muss, weiters $r=200$ und die Konstante vor dem $cos(rt)$ 100 sein sollte. Dies ergibt die Gleichungen:

$0=-LA200^{2}-RB200+{\frac {1}{C}}A$
$100=-LB200^{2}-RA200+B{\frac {1}{C}}B$

Falls ich mich nun beim Lösen dieses Systems nicht verrechnet habe, ergibt dies für A und B: $A=10^{6},B=2\cdot 10^{6}$

Und somit die partikuläre Lösung:

$q_{p}=10^{6}cos(200t)+2\cdot 10^{6}sin(200t)$

Und die Gesamtlösung für die Ladung:

$q(t)=e^{-200t}(C_{1}cos(400t)+C_{2}sin(400t))+10^{6}cos(200t)+2\cdot 10^{6}sin(200t)$

Durch die Bedingung $q(0)=0$ können wir uns $C_{1}$ ausrechnen:

$q(0)=0=C_{1}+0+10^{6}+0\rightarrow C_{1}=-10^{6}$

Wenn wir nun nach t ableiten, ergibt dies die Lösung für $i(t)$:

$i(t)={\dot {q(t)}}=-200e^{-200t}(-10^{6}cos(400t)+C_{2}sin(400t))+e^{-200t}(10^{6}\cdot 400sin(400t)+C_{2}\cdot 400cos(400t))-10^{6}\cdot 200sin(200t)+10^{6}\cdot 400cos(200t)$

Nun wird noch die Anfangsbedingung $i(0)=0$ verwendet um $C_{2}$ zu berechnen (einsetzen und ausrechnen) $\rightarrow C_{2}=-1.5\cdot 10^{6}$

Somit ergibt sich die Lösung:

$i(t)={\dot {q(t)}}=-200e^{-200t}(-10^{6}cos(400t)-1.5\cdot 10^{6}sin(400t))+e^{-200t}(10^{6}\cdot 400sin(400t)-1.510^{6}\cdot 400cos(400t))-10^{6}\cdot 200sin(200t)+10^{6}\cdot 400cos(200t)$