TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 328

Man berechne alle möglichen Gleichgewichtslagen der nichtlinearen Differentialgleichung

$y^{\prime }=y(\frac{8y}{y+1}-y-1)$

und überprüfe sie auf Stabilität.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Die erste Nullstelle $y_1^{\ast }=0$ ergibt sich trivial, die anderen beiden sind durch Nullsetzen des Klammerausdrucks erhältlich:

$\begin{array}{cc}0& =\frac{8y}{y+1}-y-1\\ y+1& =\frac{8y}{y+1}\\ y^2+2y+1& =8y\\ y^2-6y+1& =0\\ y_{2,3}^{\ast }& =3\pm \sqrt{8}\end{array}$

$\begin{array}{cc}f(x)& =y^{\prime }\\ & =y(\frac{8y}{y+1}-y-1)\\ & =\frac{8y^2}{y+1}-y^2-y\end{array}$

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{16y^2+16y-8y^2}{(y+1{)}^2}-2y-1\\ & =\frac{8y^2+16y}{(y+1{)}^2}-2y-1\end{array}$

$f^{\prime }(y_1^{\ast })=f^{\prime }(0)=-1<0$ (asymptotisch stabil)

$f^{\prime }(y_2^{\ast })=f^{\prime }(3+\sqrt{8})=-4.82842712474619<0$ (asymptotisch stabil)

$f^{\prime }(y_3^{\ast })=f^{\prime }(3-\sqrt{8})=0.828427124746191>0$ (instabil)

Lösungsvorschlag

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 19:28, 2. Jul 2006 (CEST)

Log der Verbesserungen

• Flüchtigkeitsfehler korr. --Markus Nemetz 12:45, 3. Jul 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 12:05, 19. Jun 2006 (CEST)

Quelle

• Karigl 04 Beispiel 46
• Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 164 / SS07 Beispiel 226
• WS 10 Beispiel 56