TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 70

Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

Bestimmen Sie alle Extrema der Funktion $f(x,y,z)=x+3y+2z$ unter den Nebenbedingungen $x^{2}+y^{2}=1$ und $x+z=2$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Die Nebenbedingungen müssen zuerst zu folgenden Funktionen umgeformt werden:

$g_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$

$g_{2}(x,z)=x+z-2$

Dann können wir die Lagrange-Funktion aufstellen:

$\Lambda (x,y,z,\lambda _{1},\lambda _{2})=x+3y+2z-\lambda _{1}\cdot (x^{2}+y^{2}-1)-\lambda _{2}\cdot (x+z-2)$

Von dieser bilden wir die partiellen Ableitungen für alle gesuchten Variablen und setzen diese Null:

$\Lambda _{x}(x,y,z,\lambda _{1},\lambda _{2})=1-2\lambda _{1}x-\lambda _{2}\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

$\Lambda _{y}(x,y,z,\lambda _{1},\lambda _{2})=3-2\lambda _{1}y\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

$\Lambda _{z}(x,y,z,\lambda _{1},\lambda _{2})=2-\lambda _{2}\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

Außerdem setzen wir die Funktionen der Nebenbedingungen gleich Null:

$g_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-1\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

$g_{2}(x,z)=x+z-2\;{\stackrel {!}{=}}\;0$

Somit haben wir ein lösbares Gleichungssystem bestehend aus 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten.

Die Unbekannten haben folgende Lösungen:

$\lambda _{1}=\pm {\frac {\sqrt {10}}{2}}$

$\lambda _{2}=-2$

$x=\pm {\frac {1}{\sqrt {10}}}$

$y=\mp {\frac {3}{\sqrt {10}}}$

$z=2\mp {\frac {1}{\sqrt {10}}}$

Woraus sich 2 Extrema ergeben:

1. $({\frac {1}{\sqrt {10}}},-{\frac {3}{\sqrt {10}}},2-{\frac {1}{\sqrt {10}}})$
2. $(-{\frac {1}{\sqrt {10}}},{\frac {3}{\sqrt {10}}},2+{\frac {1}{\sqrt {10}}})$