TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 75

Berechnen Sie das folgende Bereichsintegral: $\iint _{B}(x+2xy-y^{2})\,dx\,dy$,

wobei $B\in \mathbb {R} ^{2}$ der Rechteckbereich sei, welcher durch die Eckpunkte (3,1), (4,1), (4,5) und (3,5) bestimmt ist.

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Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 12:56, 1. Okt. 2021 (CEST)

$\iint _{B}(x+2xy-y^{2})\,dx\,dy=\int _{1}^{5}\int _{3}^{4}(x+2xy-y^{2})\,dx\,dy$

$\int _{1}^{5}\left[{\frac {x^{2}}{2}}+x^{2}y-xy^{2}\right]_{3}^{4}\,dy=\int _{1}^{5}\left(({\frac {16}{2}}+16y-4y^{2})-({\frac {9}{2}}+9y-3y^{2})\right)\,dy=\int _{1}^{5}({\frac {7}{2}}+7y-y^{2})\,dy$

$\left[{\frac {7}{2}}y+{\frac {7}{2}}y^{2}-{\frac {1}{3}}y^{3}\right]_{1}^{5}=({\frac {35}{2}}+{\frac {175}{2}}-{\frac {125}{3}})-({\frac {7}{2}}+{\frac {7}{2}}-{\frac {1}{3}})=98-{\frac {125}{3}}+{\frac {1}{3}}=57-{\frac {1}{3}}$