TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 9

(a) Für die Funktion $f(x,y)={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}$ berechne man die partiellen Ableitungen $f_{x}$, $f_{y}$ und die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle $(x_{0},y_{0})=(0.5,0.2)$. Wie lautet der Gradient $\operatorname {grad} f$ allgemein, und in welche Richtung zeigt er?

(b) Man berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die beiden Funktionen

$g(x,y)=x^{2}\sin y+\exp(x+2y)$ und ${\vec {h}}(x,y)={\begin{pmatrix}x^{2}\sin y\\\exp(x+2y)\end{pmatrix}}$.

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Achtung im letzten Term hat sich die Angabe geändert 2y -> y

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$f_{x}(x,y)={\frac {1}{2}}\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}(-2x)={\frac {-x}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}$

$f_{y}(x,y)={\frac {1}{2}}\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}(-2y)={\frac {-y}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}$

Tangentialebene:

Die Tangentialebene muss nicht existieren, selbst wenn die partiellen Ableitungen existieren. Nähere Informationen sind dazu auf Buch Seite 231 zu finden.

Die Gleichung für die Tangentialebene sollte an die Taylorentwicklung ersten Grades erinnern.

${\begin{aligned}z&=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})\\&=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})x-f_{x}(x_{0},y_{0})x_{0}+f_{y}(x_{0},y_{0})y-f_{y}(x_{0},y_{0})y_{0}\\&=f(0.5,0.2)+f_{x}(0.5,0.2)x-f_{x}(0.5,0.2)0.5+f_{y}(0.5,0.2)y-f_{y}(0.5,0.2)0.2\\&=0.84261-0.59339x+0.29670-0.23736y+0.04747\\&=1.18678-0.59339x-0.23736y\end{aligned}}$

Gradient:

$\operatorname {grad} f={\begin{pmatrix}{\frac {-x}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}\\{\frac {-y}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}{\frac {-x_{0}}{\sqrt {1-{x_{0}}^{2}-{y_{0}}^{2}}}}\\{\frac {-y_{0}}{\sqrt {1-{x_{0}}^{2}-{y_{0}}^{2}}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-0.59339\\-0.23736\end{pmatrix}}$

Wenn man den Gradient einzeichnet sieht man das er Richtung Ursprung zeigt. Allgemein zeigt der Gradient immer in die Richtung des stärksten Anstiegs. Der Gradient steht deswegen immer normal auf die Niveaulinie.

Beispiel (b)

$g_{x}(x,y)=2x\sin y+\exp(x+2y)$

$g_{xx}(x,y)=2\sin y+\exp(x+2y)$

$g_{xy}(x,y)=2x\cos y+2\cdot \exp(x+2y)$

$g_{y}(x,y)=x^{2}\cos y+2\cdot \exp(x+2y)$

$g_{yx}(x,y)=2x\cos y+2\cdot \exp(x+2y)=g_{xy}(x,y)$ wegen dem Satz von Schwarz

$g_{yy}(x,y)=-x^{2}\sin y+2\cdot 2\cdot \exp(x+2y)=-x^{2}\sin y+4\cdot \exp(x+2y)$

${\vec {h}}_{x}(x,y)={\begin{pmatrix}2x\sin y\\\exp(x+2y)\end{pmatrix}}$

${\vec {h}}_{xx}(x,y)={\begin{pmatrix}2\sin y\\\exp(x+2y)\end{pmatrix}}$

${\vec {h}}_{xy}(x,y)={\begin{pmatrix}2x\cos y\\2\cdot \exp(x+2y)\end{pmatrix}}$

${\vec {h}}_{y}(x,y)={\begin{pmatrix}x^{2}\cos y\\2\cdot \exp(x+2y)\end{pmatrix}}$

${\vec {h}}_{yx}(x,y)={\begin{pmatrix}2x\cos y\\2\cdot \exp(x+2y)\end{pmatrix}}={\vec {h}}_{xy}(x,y)$ wegen dem Satz von Schwarz

${\vec {h}}_{yy}(x,y)={\begin{pmatrix}-x^{2}\sin y\\2\cdot 2\cdot \exp(x+2y)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-x^{2}\sin y\\4\cdot \exp(x+2y)\end{pmatrix}}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in mehreren Variablen 21 (ähnliches Beispiel)