TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 334

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

$f(x,y)=\arctan \left({\frac {2x^{3}y}{y-x^{3}}}\right)$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

${\biggl (}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\biggr )}'=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

arctan'

Arctan'

$\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ Folgt aus der Umkehrregel.

Quotientenregel

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag

Zunächst die Ableitung nach $x$:

${\begin{aligned}f'_{x}={\frac {1}{1+\left({\frac {2x^{3}y}{y-x^{3}}}\right)^{2}}}&\cdot {\frac {6x^{2}y(y-x^{3})-2x^{3}y(-3x^{2})}{(y-x^{3})^{2}}}\\={\frac {1}{\frac {(y-x^{3})^{2}+(2x^{3}y)^{2}}{(y-x^{3})^{2}}}}&\cdot {\frac {6x^{2}y^{2}-6x^{5}y+6x^{5}y}{(y-x^{3})^{2}}}\\={\frac {(y-x^{3})^{2}}{(y-x^{3})^{2}+(2x^{3}y)^{2}}}&\cdot {\frac {6x^{2}y^{2}}{(y-x^{3})^{2}}}\\={\frac {6x^{2}y^{2}}{(y-x^{3})^{2}+(2x^{3}y)^{2}}}\end{aligned}}$

Danach die Ableitung nach $y$:

${\begin{aligned}f'_{y}={\frac {1}{1+\left({\frac {2x^{3}y}{y-x^{3}}}\right)^{2}}}&\cdot {\frac {2x^{3}(y-x^{3})-2x^{3}y}{(y-x^{3})^{2}}}\\={\frac {(y-x^{3})^{2}}{(y-x^{3})^{2}+(2x^{3}y)^{2}}}&\cdot {\frac {2x^{3}y-2x^{6}-2x^{3}y}{(y-x^{3})^{2}}}\\={\frac {-2x^{6}}{(y-x^{3})^{2}+(2x^{3}y)^{2}}}\end{aligned}}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum (SS06)
• Diskussion im Informatik-Forum Lösung aus dem WS05 (PDF)

Ähnliche Beispiele:

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Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 22