Man untersuche die Stetigkeit der Funktion
im Punkt (0, 0).
![{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{fuer }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{fuer }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=727c963b749931201da772820b671e15&mode=mathml)
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Nicht stetig - folgender Satz ist hilfreich:
"Die mehrfachen Limites sind nicht notwendigerweise gleich. Obwohl sie gleich sein müssen, wenn
existiert, impliziert ihre Gleichheit nicht die Existenz dieses Limes."
Verschieden ->
existiert daher nicht ->
nicht stetig in (0,0).
Zweiter Lösungsweg:
Laß
und
konvergieren, wobei y=mx (eine Gerade der xy-Ebene). Dann ist längst dieser Geraden
Da der Limes der Funktion von der Art der Konvergenz gegen (0,0) abhängt (d.h. von der Steigung m der Geraden), kann die Funktion in (0,0) nicht stetig sein.
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