TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 332

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

$f(x,y)=\arctan \left(\frac{4x^2{y}^2}{1+x+y}\right)$

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Hilfreiches

Arctan'

Arctan'

${\arctan }^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$ Folgt aus der Umkehrregel.

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation: $\left(f\right(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$ (Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Quotientenregel

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag von Thomas

Setzen wir

$u=\frac{4x^2{y}^2}{1+x+y}$

können wir mit Hilfe der Kettenregel und der Ableitung des arctan im ersten Schritt sagen:

$f^{\prime }(x,y)=\frac{1}{1+u^2}\cdot u^{\prime }=\frac{1}{1+(\frac{4x^2{y}^2}{1+x+y}{)}^2}\cdot u^{\prime }=\frac{(1+x+y{)}^2}{16x^4{y}^4+(1+x+y{)}^2}\cdot u^{\prime }$

um $f_x$ und $f_y$ zu erhalten, müssen wir mit der Quotientenregel nun u separat nach x, nach y differenzieren

$\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{a^{\prime }b-a{b}^{\prime }}{b^2}$

wir setzen also

$a=4x^2{y}^2$

$b=1+x+y$

abgeleitet nach x:

$a^{\prime }=8x{y}^2$

$b^{\prime }=1$

eingesetzt:

$u^{\prime }=\frac{(8x{y}^2)(1+x+y)-(4x^2{y}^2)\cdot 1}{(1+x+y{)}^2}$

term zusammengesetzt, ausmultipliziert und gekürzt:

$\begin{array}{cc}{f}_x(x,y)& =\frac{(1+x+y{)}^2}{16x^4{y}^4+(1+x+y{)}^2}\cdot \frac{(8x{y}^2)(1+x+y)-(4x^2{y}^2)\cdot 1}{(1+x+y{)}^2}\\ & =\frac{(8x{y}^2(1+x+y)-4x^2{y}^2)\cdot (1+x+y{)}^2}{16x^4{y}^4+(1+x+y{)}^2\cdot (1+x+y{)}^2}\\ & =\frac{8x{y}^2(1+x+y)-4x^2{y}^2}{16x^4{y}^4+(1+x+y{)}^2}\end{array}$

Um $f_y$ zu erhalten, muss man analgo $u$ nach y abgeleitet werden. Hier ändert sich in Wirklichkeit bei $a^{\prime }$ aber nur die Potenz denn

$4x^2{y}^2$

nach y abgeleitet ergibt

$4x^{2}2y=8x^{2}y$

und $b^{\prime }$ nach y abgeleitet bleibt $1$

was sich bei der Term Berechnung also nicht auswirkt.

$f_y(x,y)=\frac{8x^{2}y(1+x+y)-4x^2{y}^2}{16x^4{y}^4+(1+x+y{)}^2}$

somit haben wir beide partielle Ableitungen von f nach x bzw. y bestimmt, was zu zeigen war.

Anmerkungen

• Hauptquelle war dieser Post: f.post:416329

Lösung von Ornat

• f(x)´= 1/ (1 + (4x²y² / 1+x+y)²) * 8xy²(1+x+y)-4x²y²*1 / (1+x+y)²
• f(x)´= 8xy²*(1+x+y)-4x²y² / (1+x+y)² + (4x²y²/1+x+y)² * (1+x+y)²
• f(x)´= 8xy² + 8x²y² + 8xy³ - 4x²y² / x² + 2x +2y + 2xy + 1 + [16x^4y^4*(1+x+y)²/(1+x+y)²]
• f(x)´= f(x)´= 8xy²+4x²y²+8xy³ / 16 x^4 y^4 + (1+x+y)²

• nach y gehts analog da sollte f(y)´= 8x²y+4x²y²+8x³y / 16 x^4 y^4 + (1+x+y)² rauskommen.

Links

• Thread zu diesem Beispiel --Markus Nemetz 09:38, 11. Mai 2006 (CEST)
• Diskussion im Informatik-Forum

• Lösung aus dem WS05 (PDF)

Hinweis zum PDF: Nenner dürfte im zweiten Bruch fehlerhaft sein. Richtig wäre: 8xy^2*(1+x+y)-4x^2y^2

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 97
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 98
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Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 20