TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 34

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Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

 a_n = \frac{2n^3 - 5n^2 + 7}{2n^3 - 5n + 7}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Zähler und Nenner sind uneigentlich konvergente Folgen und müssen deshalb zuerst ein bisschen umgeformt werden:

a_n = \frac{2n^3-5n^2+7}{2n^3-5n+7} = \frac{n^3 (2-5\frac{n^2}{n^3}+\frac{7}{n^3})}{n^3(2-\frac{5n}{n^3}+\frac{7}{n^3})}

n^3 lässt sich entsprechend kürzen. Von dieser Folge kann jetzt der Grenzwert mit den bekannten Regeln berechnet werden:

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{2} = 1

Die kleinen Brüche streben gegen 0, die Konstanten zu ihren entsprechenden Werten. Somit strebt die Folge als Ganzes gegen 1.

-- Berti933 (Diskussion) 16:42, 15. Apr. 2015 (CEST)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

von --B100 (Diskussion) 00:29, 23. Mär. 2018 (CET)

(bei Prof. Länger an der Tafel gerechnet)


a_n = \frac{2n^3 - 5n^2 + 7}{2n^3 - 5n + 7} = \frac{n^3}{n^3} * \frac{2 - \frac{5n^2}{n^3} + 7}{2 - \frac{5n}{n^3} + 7} = \frac{2 - \frac{5}{n} + \frac{7}{n^3}}{2 - \frac{5}{n^2} + \frac{7}{n^3}} \rightarrow \frac{2 - 0 + 0}{2 - 0 + 0}  = \frac{2}{2} = 1

Laut Prof. Länger muss man jetzt noch zeigen, dass die Funktion für alle n definiert ist:

Ein Bruch ist nicht definiert, wenn der Zähler 0 wird.

2n^3 - 5n + 7 = 0

a_0 = 7

a_1 = 4

a_2 = 13

a_3 = 46

Es ist anzunehmen, dass der Folge ab n=1 streng monoton steigt und somit nicht mehr 0 werden kann. Das ist noch zu beweisen:

a_n < a_{n+1}

 2n^3 - 5n + 7 < 2(n+1)^3 - 5(n+1) + 7

 2n^3 - 5n + 7 < 2(n^3 + 3n + 3n + 1) - 5(n+1) + 7

 2n^3 - 5n + 7 < 2n^3 + 6n + 6n^2 + 2 - 5n - 5 + 7

 3 < 6n^2 + 6n

 1 < 2n^2 + 2n

Das gilt trivialerweise.