TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 34

Man untersuche die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle $n\in \mathbb{N}$ definiert.)

$a_n=\frac{2n^3-5n^2+7}{2n^3-5n+7}$

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Lösungsvorschlag

Zähler und Nenner sind uneigentlich konvergente Folgen und müssen deshalb zuerst ein bisschen umgeformt werden:

$a_n=\frac{2n^3-5n^2+7}{2n^3-5n+7}=\frac{n^3(2-5\frac{n^2}{n^3}+\frac{7}{n^3})}{n^3(2-\frac{5n}{n^3}+\frac{7}{n^3})}$

$n^3$ lässt sich entsprechend kürzen. Von dieser Folge kann jetzt der Grenzwert mit den bekannten Regeln berechnet werden:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{2}=1$

Die kleinen Brüche streben gegen $0$, die Konstanten zu ihren entsprechenden Werten. Somit strebt die Folge als Ganzes gegen $1$.

-- Berti933 (Diskussion) 16:42, 15. Apr. 2015 (CEST)

Lösungsvorschlag

von --B100 (Diskussion) 00:29, 23. Mär. 2018 (CET)

(bei Prof. Länger an der Tafel gerechnet)

$a_n=\frac{2n^3-5n^2+7}{2n^3-5n+7}=\frac{n^3}{n^3}\ast \frac{2-\frac{5n^2}{n^3}+\frac{7}{n^3}}{2-\frac{5n}{n^3}+\frac{7}{n^3}}=\frac{2-\frac{5}{n}+\frac{7}{n^3}}{2-\frac{5}{n^2}+\frac{7}{n^3}}\to \frac{2-0+0}{2-0+0}=\frac{2}{2}=1$

Laut Prof. Länger muss man jetzt noch zeigen, dass die Funktion für alle $n$ definiert ist:

Ein Bruch ist nicht definiert, wenn der Nenner 0 wird.

$2n^3-5n+7=0$

$a_0=7$

$a_1=4$

$a_2=13$

$a_3=46$

Es ist anzunehmen, dass die Folge ab $n=1$ streng monoton steigt und somit nicht mehr $0$ werden kann. Das ist noch zu beweisen:

$a_n<a_{n+1}$

$2n^3-5n+7<2(n+1{)}^3-5(n+1)+7$

$2n^3-5n+7<2(n^3+3n+3n+1)-5(n+1)+7$

$2n^3-5n+7<2n^3+6n+6n^2+2-5n-5+7$

$3<6n^2+6n$

$1<2n^2+2n$

Das gilt trivialerweise.