TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 70

Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

Bestimmen Sie alle Extrema der Funktion $f(x,y,z)=x+3y+2z$ unter den Nebenbedingungen $x^2+y^2=1$ und $x+z=2$.

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Die Nebenbedingungen müssen zuerst zu folgenden Funktionen umgeformt werden:

$g_1(x,y)=x^2+y^2-1$

$g_2(x,z)=x+z-2$

Dann können wir die Lagrange-Funktion aufstellen:

$\Lambda (x,y,z,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=x+3y+2z-{\lambda }_1\cdot (x^2+y^2-1)-{\lambda }_2\cdot (x+z-2)$

Von dieser bilden wir die partiellen Ableitungen für alle gesuchten Variablen und setzen diese Null:

${\Lambda }_x(x,y,z,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=1-2{\lambda }_{1}x-{\lambda }_2\stackrel{!}{=}0$

${\Lambda }_y(x,y,z,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=3-2{\lambda }_{1}y\stackrel{!}{=}0$

${\Lambda }_z(x,y,z,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=2-{\lambda }_2\stackrel{!}{=}0$

Außerdem setzen wir die Funktionen der Nebenbedingungen gleich Null:

$g_1(x,y)=x^2+y^2-1\stackrel{!}{=}0$

$g_2(x,z)=x+z-2\stackrel{!}{=}0$

Somit haben wir ein lösbares Gleichungssystem bestehend aus 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten.

Die Unbekannten haben folgende Lösungen:

${\lambda }_1=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

${\lambda }_2=-2$

$x=\pm \frac{1}{\sqrt{10}}$

$y=\mp \frac{3}{\sqrt{10}}$

$z=2\mp \frac{1}{\sqrt{10}}$

Woraus sich 2 Extrema ergeben:

1. $(\frac{1}{\sqrt{10}},-\frac{3}{\sqrt{10}},2-\frac{1}{\sqrt{10}})$
2. $(-\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}},2+\frac{1}{\sqrt{10}})$