Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.
Bestimmen Sie alle Extrema der Funktion
unter den Nebenbedingungen
und
.
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Die Nebenbedingungen müssen zuerst zu folgenden Funktionen umgeformt werden:
Dann können wir die Lagrange-Funktion aufstellen:
Von dieser bilden wir die partiellen Ableitungen für alle gesuchten Variablen und setzen diese Null:
Außerdem setzen wir die Funktionen der Nebenbedingungen gleich Null:
Somit haben wir ein lösbares Gleichungssystem bestehend aus 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten.
Die Unbekannten haben folgende Lösungen:
Woraus sich 2 Extrema ergeben:
![{\displaystyle ({\frac {1}{\sqrt {10}}},-{\frac {3}{\sqrt {10}}},2-{\frac {1}{\sqrt {10}}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=382132c4afa9799a9b6a51749099ab62&mode=mathml)
![{\displaystyle (-{\frac {1}{\sqrt {10}}},{\frac {3}{\sqrt {10}}},2+{\frac {1}{\sqrt {10}}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4e0bd7affc5f3c87c8e8cf83bbf15b9e&mode=mathml)