TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 70

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Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

Bestimmen Sie alle Extrema der Funktion f(x,y,z) = x+3y+2z unter den Nebenbedingungen x^2+y^2 = 1 und x+z = 2.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Die Nebenbedingungen müssen zuerst zu folgenden Funktionen umgeformt werden:

g_1(x,y) = x^2+y^2-1

g_2(x,z) = x+z-2

Dann können wir die Lagrange-Funktion aufstellen:

\Lambda(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = x+3y+2z-\lambda_1 \cdot (x^2+y^2-1) - \lambda_2 \cdot (x+z-2)

Von dieser bilden wir die partiellen Ableitungen für alle gesuchten Variablen und setzen diese Null:

\Lambda_x(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = 1-2\lambda_1x-\lambda_2\; \stackrel{!}{=}\; 0

\Lambda_y(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = 3-2\lambda_1y\; \stackrel{!}{=}\; 0

\Lambda_z(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = 2-\lambda_2\; \stackrel{!}{=}\; 0

Außerdem setzen wir die Funktionen der Nebenbedingungen gleich Null:

g_1(x,y) = x^2+y^2-1\; \stackrel{!}{=}\; 0

g_2(x,z) = x+z-2\; \stackrel{!}{=}\; 0

Somit haben wir ein lösbares Gleichungssystem bestehend aus 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten.

Die Unbekannten haben folgende Lösungen:

\lambda_1 = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}

\lambda_2 = -2

x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}

y = \mp \frac{3}{\sqrt{10}}

z = 2 \mp \frac{1}{\sqrt{10}}

Woraus sich 2 Extrema ergeben:

  1. (\frac{1}{\sqrt{10}}, -\frac{3}{\sqrt{10}}, 2-\frac{1}{\sqrt{10}})
  2. (-\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}, 2+\frac{1}{\sqrt{10}})