TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 5

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Man finde alle Häufungspunkte der Folge $a_{n}=sin({\frac {n\pi }{2}})+(-1)^{\frac {n*(n+1)}{2}}(n\geq 0)$

Vorschlag von Thomas

Ich betrachte die beiden Summanden als Teilfolgen. Der linke Teil mit sin(n*Pi/2) kann nur die Werte -1, 1 oder 0 annehmen, aufgrund der Sinusfunktion Und die rechte Teilfolge ist alternierend entweder -1 oder 1.

Daraus ergeben sich mit ein bisschen nachrechen folgende vier Häufungspunkte: 2, 0, -2 und 1

Ich bitte noch darum die Angabe einzufügen, bin da eher ein n00b.

--Benutzer: Thomas

Die Lösung für die rechte Teilfolge stimmt natürlich, man muss sich aber auch noch anschauen wann genau sie +1 oder -1 wird. das ist +1 wenn der Exponent gerade ist, sonst -1. Und da der Exponent durch 2 geteilt wird muss der Zähler nicht nur durch 2, sondern sogar durch vier Teilbar sein. Das passiert wenn entweder n oder (n+1) durch 4 teilbar sind (oder beide durch 2, was aber natürlich nicht geht), also immer sozusagen beim 3. und 4. Glied von 4. Wenn man sich jetzt noch die sinus-funktion anschaut sieht man dass die praktischerweise auch sich immer nach 4 mal wiederholt, also 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1 .... und der rechte teil: 1, -1,-1, 1 1,-1,-1, 1

wenn man jetzt noch beide addiert erhält man

1, 0, -1, 0

also sind 1, -1 und null die Häufungswerte

Frage: Warum sind 2 und -2 jetzt keine Häufungspunkte?

--Benutzer: Darki

Weil die gesamte Folge die Werte 2 und -2 nie annimmt. Deshalb können sie auch keine Häufungspunkte sein.

Und auch 0 ist ein Häufungspunkt da bis auf endliche viele unendliche viele 0 darin liegen