Man zeige, dass die Folge
konvergiert, indem man zu beliebigem
ein
angebe.
Anleitung: Zeigen Sie, dass aus
die Ungleichung
folgt. Die erste Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
EDIT: Regel von l Hospital darf nur bei Funktionen genutzt werden. Daher hat diese Regel beim Brechnen von Grenzwerten von Folgen nichts zu suchen!
- Regel_von_l'Hospital
Regel von l'Hospital[Bearbeiten, Wikipedia, 5.35 Satz]
Sind die Funktionen
und
in einer Umgebung von
- differenzierbar und
- gilt
und
- existiert
,
so gilt:
.
Eine analoge Aussage gilt für
, oder auch falls
.
Wenn man
setzt. Dann gilt:
Der Grenzwert von:
ist nicht ganz so leicht zu berechnen, da sowohl die obere Teilfunktion als auch die untere gegen
streben.
Das heißt hier ist die Regel von de l'Hospital anzuwenden.
Praktischer Weise ist unser Fall im Buch "Mathematik für Informatik" bereits angeführt. (Auflage 3, Seite 203, Beispiel 5.36 (Anwendung der Regel von de l'Hospital), Punkt (d) )
Durch dieses Beispiel, wissen wir dass der Logarithmus für
schwächer wächst als jede positive Potenz von x.
Dadurch gilt:
Jetzt weiter wie Beispiel 9 und 10 (SS14)
Nachdem
1) multipliziere mit
2) dividiere durch
3) potentiere mit 2
Lösung: