TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS17/Beispiel 10

Man zeige, dass die Folge $a_n$ konvergiert, indem man zu beliebigem $ϵ>0$ ein $N(ϵ)$ angebe. $a_n=\frac{\sin n}{\sqrt[4]{n}}(n\ge 1)$

Hilfreiches

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Lösungsvorschlag

Laut Definition ist $N(ϵ)$ eine von $ϵ$ abhängige Zahl, die angibt, ab welchen $n$ alle weiteren Glieder der Folge $a_n$ in der $ϵ$ - Umgebung eines beliebigen $ϵ>0$ liegen, nicht das erste n, welches sich in der $ϵ$ - Umgebung befindet. Nachdem $\sin$ mit größerem n auch kleiner werden kann, müssen wir für eine definitive Aussage die gegebene Folge nach oben abschätzen. Hierfür bietet sich die Majorante $\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$ an, da $|\sin |$ maximal 1 annehmen kann, und wir die Folge ja nach oben abschätzen. Dies dürfen wir jedoch lediglich aufgrund der Tatsache, dass die Folge gegen 0 konvergiert, da das Setzen des Betrags nichts an der Konvergenz ändert. Somit können wir nun direkt $N(ϵ)$ bestimmen und müssen lediglich auf n umformen.

$\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\le ϵ{|}^4$

$\frac{1}{n}\le {ϵ}^4|\ast n|:{ϵ}^4$

$\frac{1}{{ϵ}^4}\le n$

Somit ist unser $N(ϵ)=\lceil \frac{1}{{ϵ}^4}\rceil$, wobei hier aufgerundet werden muss, da $N(ϵ)\in \mathbb{N}$.