TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS17/Beispiel 10

Man zeige, dass die Folge $a_{n}$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\epsilon >0$ ein $N(\epsilon )$ angebe. $a_{n}={\frac {\sin n}{\sqrt[{4}]{n}}}\quad (n\geq 1)$

Hilfreiches

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Lösungsvorschlag

Laut Definition ist $N(\epsilon )$ eine von $\epsilon$ abhängige Zahl, die angibt, ab welchen $n$ alle weiteren Glieder der Folge $a_{n}$ in der $\epsilon$ - Umgebung eines beliebigen $\epsilon >0$ liegen, nicht das erste n, welches sich in der $\epsilon$ - Umgebung befindet. Nachdem $\sin$ mit größerem n auch kleiner werden kann, müssen wir für eine definitive Aussage die gegebene Folge nach oben abschätzen. Hierfür bietet sich die Majorante ${\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}$ an, da $|\sin |$ maximal 1 annehmen kann, und wir die Folge ja nach oben abschätzen. Dies dürfen wir jedoch lediglich aufgrund der Tatsache, dass die Folge gegen 0 konvergiert, da das Setzen des Betrags nichts an der Konvergenz ändert. Somit können wir nun direkt $N(\epsilon )$ bestimmen und müssen lediglich auf n umformen.

${\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}\leq \epsilon \quad |^{4}$

${\frac {1}{n}}\leq \epsilon ^{4}|*n\quad |:\epsilon ^{4}$

${\frac {1}{\epsilon ^{4}}}\leq n$

Somit ist unser $N(\epsilon )=\lceil {\frac {1}{\epsilon ^{4}}}\rceil$, wobei hier aufgerundet werden muss, da $N(\epsilon )\in \mathbb {N}$.