TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 132

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f^{\prime }(x)$:

$f(x)=Arccos(\sqrt[4]{x^2-2})$

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Hilfreiches

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

$\left(f\right(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

arccos'

Arccos'

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{}^{\prime }(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ Folgt aus Umkehrregel.

Lösungsvorschlag

Definitionsmenge

Arccos ist definiert im Intervall [-1, +1]. Da die 4te Wurzel jedoch keine negativen Werte liefern kann, beschränkt sich der Bereich auf [0, +1].

Auf die Funktion $f(x)$ angewendet, heißt das:

$\begin{array}{cccc}0\le & \sqrt[4]{x^2-2}& \le 1& |\uparrow 4\\ 0\le & x^2-2& \le 1& |+2\\ 2& \le x^2& \le 3& |\sqrt{}\\ \sqrt{2}& \le |x|& \le \sqrt{3}\end{array}$

Ja da hats etwas, das Ergebnis paast, zumindest der rechte Teil...

$⟹\text{Definitionbereich ist:}\{\begin{array}{cc}\sqrt{2}& \le x\le \sqrt{3}\\ -\sqrt{2}& \ge x\ge -\sqrt{3}\end{array}$

Ableitung

Die Ableitung von $\arccos$ ist: ${\arccos }^{\prime }(n)=-\frac{1}{\sqrt{1-n^2}}$

Ableiten der Funktion $f(x)$ mittels Kettenregel:

$f^{\prime }(x)={\arccos }^{\prime }(\sqrt[4]{x^2-2})=-\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{x^2-2}}}\cdot \frac{1}{4}\frac{1}{{(x^2-2)}^{3/4}}\cdot 2x$

Nenner-Nullstellen

Daraus ergibt sich, daß die Funktion an folgenden Stellen ebenfalls undefiniert ist:

• erster Nenner-Term:

$\begin{array}{cc}\sqrt{(x^2-2)}=1& \Rightarrow \\ x^2-2=\pm 1& \Rightarrow \\ x^2=\pm 1,\pm 3& \Rightarrow \\ x=\pm 1,\pm \sqrt{3}\end{array}$

• zweiter Nenner-Term:

$x=\pm \sqrt{2}$

Für diese sechs Stellen ist $f(x)$ also ebenfalls undefiniert.

Fazit

Die Funktion $f(x)$ ist in folgenden Intervallen definiert:

• $\sqrt{2}<x<\sqrt{3}$
• $-\sqrt{2}>x>-\sqrt{3}$

Das Ergbnis paast, aber wie man drauf kommt ist noch offen.

Anmerkungen

Definitionsbereich richtig?

Ich bin mir nicht sicher, ob der Definitionsbereich komplett stimmt. Wenn man eine Zahl für x zwischen - $\sqrt{2}$ und + $\sqrt{2}$ einsetzt, ist der Betrag unter der Wurzel negativ und somit die Wurzel nicht definiert. Also kann auch der arccos in diesem Bereich keinen Wert haben. Sollte der Definitionsbereich also nicht zwischen $\sqrt{2}$ und $\sqrt{3}$ bzw. -$\sqrt{3}$ und -$\sqrt{2}$ liegen?

Lösung vom 11.03.2010

1. Der Innere Teil der Wurzel muss größer als 0 sein:

$\begin{array}{ccc}0\le & x^2-2& |+2\\ 2& \le x^2& |\sqrt{}\\ x_1& \le \sqrt{2}\\ x_2& \le -\sqrt{2}\end{array}$

2. dann die Definition über den Definitionsbereich von arccos [1,-1]

$\begin{array}{cccc}-1\le & \sqrt[4]{x^2-2}& \le 1& |\uparrow 4\\ .\\ .\\ .\\ x^2-2\in [0,1]\end{array}$

Sorry habs nicht genauer. Die Ableitung ist zwar gefordert, aber sie gibt nur Hinweise zum Definitionsbereich, es kann nicht davon ausgegangen werden, das die Grundfunktion und die Ableitung die selbe Definitionsmenge haben !

$⟹\text{Definitionbereich ist:}\{\begin{array}{cc}\sqrt{2}& \le x\le \sqrt{3}\\ -\sqrt{2}& \ge x\ge -\sqrt{3}\end{array}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum
• Diskussion im Informatik-Forum (vergleichbares Bsp.)

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