TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 371

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -3& -7\\ 1& -7& -20\end{array}\right)$

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{{Beispiel|1=
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Hilfreiches

Hauptminorenkriterium

Hauptminorenkriterium

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_k$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right)$

1. Hauptminor: $\left|\begin{array}{c}4\end{array}\right|$

2. Hauptminor: $\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right|$

3. Hauptminor: $\left|\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right|$

Lösungsvorschlag von m0ru

Anwendung des Hauptminorenkriteriums (siehe weiter unten):

$M_1=\left|\begin{array}{c}-1\end{array}\right|=-1$

$M_2=\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -3\end{array}\right|=-1\cdot -3-1\cdot 1=2$

$M_3=\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -3& -7\\ 1& -7& -20\end{array}\right|=(-1)(-3)(-20)+(1)(-7)(1)+(1)(1)(-7)-(-1)(-7)(-7)-(1)(1)(-20)-(1)(-3)(1)=-2$

Aufgrund des alternierenden Schemas (siehe unten) können wir erkennen, dass die Matrix negativ definit ist und daher: $x^T\cdot A\cdot x<0$ für alle Vektoren $x\in {ℝ}^3\mathrm{\setminus }\{\mathrm{𝟎}\}$