TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 55

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{a}_n$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{a}_n$ der Folge $a_n$:

$a_n=(-1{)}^n{n}^{(-1{)}^{\frac{n(n+1)}{2}}+1}+\cos n\pi /2$

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Lösungsvorschlag

Der Teil $(-1{)}^n$ ist abwechselnd -1 (für ungerade n) und 1 (für gerade n).

Der Teil $\cos n\pi /2$ wiederholt sich alle vier Glieder: $1,0,-1,0,1,0,-1,\dots$

Der Teil $n^{(-1{)}^{n(n+1)/2}+1}$ wiederholt sich ebenfalls alle vier Glieder: $n^2,n^0,n^0,n^2,n^2,n^0,n^0,n^2,\dots$

Ähnlich wie bei Beispiel 56 unterscheiden wir daher vier Fälle für $nmod4$

Für $nmod4=0$ ist $a_n=1\cdot n^2+1$. Diese Teilfolge konvergiert gegen $\mathrm{\infty }$.

Für $nmod4=1$ ist $a_n=-1\cdot n^0+0=\text{-}1$. Diese Teilfolge konvergiert gegen $-1$.

Für $nmod4=2$ ist $a_n=1\cdot n^0-1=0$. Diese Teilfolge konvergiert gegen $0$.

Für $nmod4=3$ ist $a_n=-1\cdot n^2+0$. Diese Teilfolge konvergiert gegen $-\mathrm{\infty }$.

Daher gilt $liminf=-\mathrm{\infty }$, $limsup=\mathrm{\infty }$, und die Häufungspunkte sind $\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty },0,-1$

Anmerkung: ich glaub in der angabe ist ein fehler, Der Teil $\cos 2\pi /2$ sollte doch $\cos n\pi /2$ sein

EDIT: Korrigiert