TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 55

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie $\limsup _{n\to \infty }a_{n}$ und $\liminf _{n\to \infty }a_{n}$ der Folge $a_{n}$:

$a_{n}=(-1)^{n}n^{(-1)^{\frac {n(n+1)}{2}}+1}+\cos n\pi /2$

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Lösungsvorschlag

Der Teil $(-1)^{n}$ ist abwechselnd -1 (für ungerade n) und 1 (für gerade n).

Der Teil $\cos n\pi /2$ wiederholt sich alle vier Glieder: $1,0,-1,0,1,0,-1,\dots$

Der Teil $n^{(-1)^{n(n+1)/2}+1}$ wiederholt sich ebenfalls alle vier Glieder: $n^{2},n^{0},n^{0},n^{2},n^{2},n^{0},n^{0},n^{2},\dots$

Ähnlich wie bei Beispiel 56 unterscheiden wir daher vier Fälle für $n\mod 4$

Für $n\mod 4=0$ ist $a_{n}=1\cdot n^{2}+1$. Diese Teilfolge konvergiert gegen $\infty$.

Für $n\mod 4=1$ ist $a_{n}=-1\cdot n^{0}+0={\text{-}}1$. Diese Teilfolge konvergiert gegen $-1$.

Für $n\mod 4=2$ ist $a_{n}=1\cdot n^{0}-1=0$. Diese Teilfolge konvergiert gegen $0$.

Für $n\mod 4=3$ ist $a_{n}=-1\cdot n^{2}+0$. Diese Teilfolge konvergiert gegen $-\infty$.

Daher gilt $\lim \inf =-\infty$, $\lim \sup =\infty$, und die Häufungspunkte sind $\infty ,-\infty ,0,-1$

Anmerkung: ich glaub in der angabe ist ein fehler, Der Teil $\cos 2\pi /2$ sollte doch $\cos n\pi /2$ sein

EDIT: Korrigiert