Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie
und
der Folge
:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {n^{2}\cos {\frac {n\pi }{2}}+1}{n+1}}+\sin {\frac {(2n+1)\pi }{2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=22865cfc592d44b87becf13078300bd2&mode=mathml)
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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Hier ist wichtig zu wissen, dass
und
sich nach
wiederholen. Das heißt, es reicht, eine Fallunterscheidung für 4 Fälle zu machen, und deckt damit die Folge vollständig ab.
:
,
:
,
:
,
:
,
ist also ein Häufungspunkt.
ist also ein (unechter) Häufungspunkt. [meiner Meinung nach genauso auszuführen wie bei n=0]
ist also ein Häufungspunkt.
Zusammengefasst gilt also:
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}=\infty }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0fc49c49ca7dfee92f2b2eca3b3af7a9&mode=mathml)
![{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f78509b0d092c44fe7c5aa7aaa6ce0bc&mode=mathml)
- Häufungspunkte:
![{\displaystyle -\infty ,-1,\infty }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5da77dc7c53d4f3136afbf3790b285cc&mode=mathml)
-- Berti933 (Diskussion) 16:59, 15. Apr. 2015 (CEST)
Anmerkung
Nachdem die Folge periodisch auf und ab geht und die Amplitude stetig steigt (uneigentlich konvergent gegen + und - unendlich), müssten doch sämtliche reelle Zahlen Häufungswerte sein?
Siehe auch Matheboard: [1]
Nein, es sind nicht alle rellen Zahlen Häufungspunkte, da wir mit der Folge nicht alle Indizes darstellen, sondern nur die natürlichen Zahlen. Diese liefern konkrete Punkte, die entweder direkt auf -1 liegen oder gegen +- unendlich konvergieren.
Siehe auch https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_2_2022S.pdf für meinen eher ausführlich erklärten Lösungsvorschlag.