Kategorie:Analysis

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Folgen, Reihen und Funktionen[edit]

Folgen reeller Zahlen[edit]

Grenzwert

Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge (a_n)_{n\geq0}, falls in jeder \epsilon-Umgebung von a fast alle Folgenglieder a_n liegen, d.h., falls

\forall\epsilon > 0 \quad \exists N(\epsilon)\in\mathbb{N} \quad \forall n>N(\epsilon):|a_n-a|<\epsilon   (Definition 4.4)

Häufungspunkt

Kategorie:Häufungspunkt

Sandwich-Theorem

Seien (a_{n})_{n\geq 0} und (b_{n})_{n\geq 0} konvergente Folgen mit \lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n} = \lim_{n\rightarrow +\infty}b_{n} = a. Sei (c_{n})_{n\geq 0} eine Folge mit a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} für fast alle n \in\mathbb{N}.

Dann folgt die Konvergenz von c_{n} und es gilt \lim_{n\rightarrow +\infty}c_{n} = a. (Satz 4.22)

Cauchykriterium

\langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N}:\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall n, m\geq N(\varepsilon):\quad\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon.   (Definition 4.28)

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in \mathbb R).


Unendliche Reihen[edit]

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

  • Ist \sum_{n=0}^\infty a_n konvergent, dann gilt \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
  • \sum a_n heißt absolut konvergent, wenn \sum\left|a_n\right| konvergent ist.   (Definition 4.43)
"absolut konvergent" \begin{Bmatrix}\Rightarrow\\\underset{i.A.}{\nLeftarrow}\end{Bmatrix} "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)
Harmonische Reihe

Die harmonischen Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}   (Beispiel 4.36)

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe {\textstyle \sum_{n=0}^{\infty}a_0\cdot q^n} ist:

  • für |q| < 1 konvergent und es gilt:
\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = \frac{a_0}{1-q}
  • für |q| \ge 1 divergent   (Beispiel 4.37)
Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe \sum a_n, d.h. \sgn(a_n) \ = \ (-1)^n, und \left|a_n\right| monoton fallend und konvergent nach \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0 gilt:

\sum a_n ist konvergent.   (Satz 4.41)

Majorantenkriterium

Wenn \sum b_n konvergent und \left|a_n\right|\leq b_n\;\forall n, dann ist \sum a_n absout konvergent.   (Satz 4.47)

Minorantenkriterium

Wenn \sum b_n divergent und \left|a_n\right|\geq b_n\;\forall n, dann ist \sum a_n auch divergent.   (Satz 4.48)

Wurzelkriterium

Wenn \sqrt[n]{|a_n|}\leq q<1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n absolut konvergent.

Falls hingegen \sqrt[n]{|a_n|}\geq 1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n divergent.   (Satz 4.50)

Quotientenkriterium

Wenn \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q<1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n absolut konvergent.

Falls hingegen \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\geq 1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n divergent.   (Satz 4.52)

Konvergenzradius

R = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\ \sqrt[n]{|a_n|}}   (Satz 4.59)


Asymptotischer Vergleich von Folgen[edit]

Landau-Symbole

Seien (a_{n})_{n\geq 0} und (b_{n})_{n\geq 0} Folgen. Dann schreibt man für n \to \infty:

  1. (i) a_{n}=O(b_{n}), falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass \left | \frac{a_{n}}{b_{n}} \right |\leq C für fast alle n\in \mathbb{N} gilt.
  2. (ii) a_{n}=o(b_{n}), falls \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 0 gilt.
  3. (iii) a_{n}\sim b_{n}, falls \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 1 gilt.

  (Definition 4.62)


Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit[edit]

Stetigkeit

Eine Funktion f\! ist stetig an der Stelle x_0\!, wenn f(x) \approx f(x_0) für alle x = x_0 \pm \epsilon gilt, und \epsilon\! hinreichend klein ist. (Definition 4.84)

Der Funktionswert muss also bei der Annäherung an x_0 von links gleich sein, wie bei der Annäherung von rechts:

f(x_0) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0-}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow x_0+}{f(x)}

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion

Sei I = [a,b] ein Intervall und f\colon I \to \R eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion f^{-1}\colon f(I) \to I und ist ebenfalls stetig. (Satz 4.91)


Differential- und Integralrechnung in einer Variablen[edit]

Differenzierbarkeit

Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt x_0, wenn

\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} sowohl von links, als auch von rechts, existiert. (Definition 5.1)

Produktregel

(fg)'=f'g+fg'   (Satz 5.5)

Quotientenregel

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}   (Satz 5.5)

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

\biggl(f\bigl(g(x)\bigr)\biggr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Umkehrregel

(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f\;'(f^{-1}(x))}   (Satz 5.5)

Taylorreihe
Taylorreihe[Bearbeiten, WP, 5.20 Definition]

f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

Regel von l'Hospital
Regel von l'Hospital[Bearbeiten, WP, 5.35 Satz]

Sind die Funktionen f und g in einer Umgebung von x_0

  • differenzierbar und
  • gilt f(x_0)=g(x_0)=0 und
  • existiert \lim_{x\to x_0}\left(\frac{f'(x)}{g'(x)}\right),

so gilt: \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. Eine analoge Aussage gilt für x\to\infty, oder auch falls \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty.

Substitutionsregel

\int f\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du mit u=u(x)   (Satz 5.41)

Partielle Integration
Partielle Integration[Bearbeiten, WP, 5.41 Satz]

\int u\;dv=uv-\int v\;du alias \int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung[Bearbeiten, WP, 5.55 Satz]

Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, dt eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt:

\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)

Anmerkung: Statt F(b) - F(a) schreibt man kürzer auch F(x)\Big|_a^b.

Integralkriterium
Integralkriterium[Bearbeiten, WP, 5.62 Satz]

Sei f: [1, \infty) \to \mathbb{R} eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral \int_{1}^{\infty} f(x)\;dx genau dann konvergent, wenn die Reihe \sum_{n=1}^{\infty} f(n) konvergiert.

Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen[edit]

Gradient
Gradient[Bearbeiten, WP, 6.14 Definition]

\mathrm{grad}\ f = 
\begin{pmatrix}
f_{x_1}\\
\vdots\\
f_{x_n}\\
\end{pmatrix}