Kategorie:Analysis

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Folgen, Reihen und Funktionen[edit]

Folgen reeller Zahlen[edit]

Grenzwert

Eine reelle Zahl heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge , falls in jeder -Umgebung von fast alle Folgenglieder liegen, d.h., falls

  (Definition 4.4)

Häufungspunkt

Kategorie:Häufungspunkt

Sandwich-Theorem

Seien und konvergente Folgen mit . Sei eine Folge mit für fast alle .

Dann folgt die Konvergenz von und es gilt . (Satz 4.22)

Cauchykriterium

.   (Definition 4.28)

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in ).


Unendliche Reihen[edit]

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

  • Ist konvergent, dann gilt , aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
  • heißt absolut konvergent, wenn konvergent ist.   (Definition 4.43)
"absolut konvergent" "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)
Harmonische Reihe

Die harmonischen Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

  (Beispiel 4.36)

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist:

  • für konvergent und es gilt:
  • für divergent   (Beispiel 4.37)
Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe , d.h. , und monoton fallend und konvergent nach gilt:

ist konvergent.   (Satz 4.41)

Majorantenkriterium

Wenn konvergent und , dann ist absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Minorantenkriterium

Wenn divergent und , dann ist auch divergent.   (Satz 4.48)

Wurzelkriterium

Wenn , dann ist absolut konvergent.

Falls hingegen , dann ist divergent.   (Satz 4.50)

Quotientenkriterium

Wenn , dann ist absolut konvergent.

Falls hingegen , dann ist divergent.   (Satz 4.52)

Konvergenzradius

  (Satz 4.59)


Asymptotischer Vergleich von Folgen[edit]

Landau-Symbole

Seien und Folgen. Dann schreibt man für :

  1. (i) , falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass für fast alle gilt.
  2. (ii) , falls gilt.
  3. (iii) , falls gilt.

  (Definition 4.62)


Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit[edit]

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig an der Stelle , wenn für alle gilt, und hinreichend klein ist. (Definition 4.84)

Der Funktionswert muss also bei der Annäherung an von links gleich sein, wie bei der Annäherung von rechts:

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion

Sei ein Intervall und eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion und ist ebenfalls stetig. (Satz 4.91)


Differential- und Integralrechnung in einer Variablen[edit]

Differenzierbarkeit

Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt , wenn

sowohl von links, als auch von rechts, existiert. (Definition 5.1)

Produktregel

  (Satz 5.5)

Quotientenregel

  (Satz 5.5)

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Umkehrregel

  (Satz 5.5)

Taylorreihe
Taylorreihe[Bearbeiten, Wikipedia, 5.20 Definition]

Regel von l'Hospital
Regel von l'Hospital[Bearbeiten, Wikipedia, 5.35 Satz]

Sind die Funktionen und in einer Umgebung von

  • differenzierbar und
  • gilt und
  • existiert ,

so gilt: . Eine analoge Aussage gilt für , oder auch falls .

Substitutionsregel

mit   (Satz 5.41)

Partielle Integration
Partielle Integration[Bearbeiten, Wikipedia, 5.41 Satz]

alias

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung[Bearbeiten, Wikipedia, 5.55 Satz]

Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt:

Anmerkung: Statt schreibt man kürzer auch .

Integralkriterium
Integralkriterium[Bearbeiten, Wikipedia, 5.62 Satz]

Sei eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral genau dann konvergent, wenn die Reihe konvergiert.

Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen[edit]

Gradient
Gradient[Bearbeiten, Wikipedia, 6.14 Definition]