Kategorie:Analysis

Folgen, Reihen und Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgen reeller Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grenzwert

Eine reelle Zahl ${\displaystyle a}$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$, falls in jeder ${\displaystyle \epsilon }$-Umgebung von ${\displaystyle a}$ fast alle Folgenglieder ${\displaystyle a_{n}}$ liegen, d.h., falls

${\displaystyle \forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon }$   (Definition 4.4)

Häufungspunkt

Kategorie:Häufungspunkt

Sandwich-Theorem

Seien ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ und ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ konvergente Folgen mit ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=a}$. Sei ${\displaystyle (c_{n})_{n\geq 0}}$ eine Folge mit ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ für fast alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Dann folgt die Konvergenz von ${\displaystyle c_{n}}$ und es gilt ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }c_{n}=a}$. (Satz 4.22)

Cauchykriterium

${\displaystyle \langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }:\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists N(\varepsilon )\quad \forall n,m\geq N(\varepsilon ):\quad \left|x_{n}-x_{m}\right|<\varepsilon }$.   (Definition 4.28)

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in ${\displaystyle \mathbb {R} }$).

Unendliche Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ konvergent, dann gilt ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• ${\displaystyle \sum a_{n}}$ heißt absolut konvergent, wenn ${\displaystyle \sum \left|a_{n}\right|}$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\Rightarrow \\{\underset {i.A.}{\nLeftarrow }}\end{Bmatrix}}}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Harmonische Reihe

Die harmonischen Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$   (Beispiel 4.36)

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{0}\cdot q^{n}}$ ist:

• für ${\displaystyle |q|<1}$ konvergent und es gilt:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{0}q^{n}={\frac {a_{0}}{1-q}}}$

• für ${\displaystyle |q|\geq 1}$ divergent   (Beispiel 4.37)

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe ${\displaystyle \sum a_{n}}$, d.h. ${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})\ =\ (-1)^{n}}$, und ${\displaystyle \left|a_{n}\right|}$ monoton fallend und konvergent nach ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$ gilt:

${\displaystyle \sum a_{n}}$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Majorantenkriterium

Wenn ${\displaystyle \sum b_{n}}$ konvergent und ${\displaystyle \left|a_{n}\right|\leq b_{n}}$ für fast alle ${\displaystyle n}$, dann ist ${\displaystyle \sum a_{n}}$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Minorantenkriterium

Wenn ${\displaystyle \sum a_{n}}$ und ${\displaystyle \sum b_{n}}$ zwei Reihen sind, ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$ für fast alle ${\displaystyle n}$ gilt und ${\displaystyle \sum a_{n}}$ divergent, dann ist auch ${\displaystyle \sum b_{n}}$ divergent.   (Satz 4.48)

Wurzelkriterium

Wenn ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq q<1\;\forall \,n\geq n_{0}}$, dann ist ${\displaystyle \sum a_{n}}$ absolut konvergent.

Falls hingegen ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\geq 1\;\forall \,n\geq n_{0}}$, dann ist ${\displaystyle \sum a_{n}}$ divergent.   (Satz 4.50)

Quotientenkriterium

Wenn ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q<1\;\forall \,n\geq n_{0}}$, dann ist ${\displaystyle \sum a_{n}}$ absolut konvergent.

Falls hingegen ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1\;\forall \,n\geq n_{0}}$, dann ist ${\displaystyle \sum a_{n}}$ divergent.   (Satz 4.52)

Konvergenzradius

${\displaystyle R={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\ {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}}$   (Satz 4.59)

Asymptotischer Vergleich von Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Landau-Symbole

Seien ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ und ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ Folgen. Dann schreibt man für ${\displaystyle n\to \infty }$:

1. (i) ${\displaystyle a_{n}=O(b_{n})}$, falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right|\leq C}$ für fast alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt.
2. (ii) ${\displaystyle a_{n}=o(b_{n})}$, falls ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0}$ gilt.
3. (iii) ${\displaystyle a_{n}\sim b_{n}}$, falls ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1}$ gilt.

  (Definition 4.62)

Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stetigkeit

Eine Funktion ${\displaystyle f\!}$ ist stetig an der Stelle ${\displaystyle x_{0}\!}$, wenn ${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})}$ für alle ${\displaystyle x=x_{0}\pm \epsilon }$ gilt, und ${\displaystyle \epsilon \!}$ hinreichend klein ist. (Definition 4.84)

Der Funktionswert muss also bei der Annäherung an ${\displaystyle x_{0}}$ von links gleich sein, wie bei der Annäherung von rechts:

${\displaystyle f(x_{0})=\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}-}{f(x)}=\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}+}{f(x)}}$

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion

Sei ${\displaystyle I=[a,b]}$ ein Intervall und ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}\colon f(I)\to I}$ und ist ebenfalls stetig. (Satz 4.91)

Differential- und Integralrechnung in einer Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Differenzierbarkeit

Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt ${\displaystyle x_{0}}$, wenn

${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ sowohl von links, als auch von rechts, existiert. (Definition 5.1)

Produktregel

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$   (Satz 5.5)

Quotientenregel

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$   (Satz 5.5)

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

${\displaystyle {\biggl (}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\biggr )}'=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)}$

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Umkehrregel

${\displaystyle (f^{-1})'(x)={\dfrac {1}{f\;'(f^{-1}(x))}}}$   (Satz 5.5)

Taylorreihe

Taylorreihe[Bearbeiten, Wikipedia, 5.20 Definition]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital[Bearbeiten, Wikipedia, 5.35 Satz]

Sind die Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ in einer Umgebung von ${\displaystyle x_{0}}$

• differenzierbar und
• gilt ${\displaystyle f(x_{0})=g(x_{0})=0}$ und
• existiert ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right)}$,

so gilt: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$. Eine analoge Aussage gilt für ${\displaystyle x\to \infty }$, oder auch falls ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty }$.

Substitutionsregel

${\displaystyle \int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du}$ mit ${\displaystyle u=u(x)}$   (Satz 5.41)

Partielle Integration

Partielle Integration[Bearbeiten, Wikipedia, 5.41 Satz]

${\displaystyle \int u\;dv=uv-\int v\;du}$ alias ${\displaystyle \int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)}$

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung[Bearbeiten, Wikipedia, 5.55 Satz]

Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$

Anmerkung: Statt ${\displaystyle F(b)-F(a)}$ schreibt man kürzer auch ${\displaystyle F(x){\Big |}_{a}^{b}}$.

Integralkriterium

Integralkriterium[Bearbeiten, Wikipedia, 5.62 Satz]

Sei ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} }$ eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\;dx}$ genau dann konvergent, wenn die Reihe ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ konvergiert.

Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gradient

Gradient[Bearbeiten, Wikipedia, 6.14 Definition]

${\displaystyle \mathrm {grad} \ f={\begin{pmatrix}f_{x_{1}}\\\vdots \\f_{x_{n}}\\\end{pmatrix}}}$