TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 56

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{a}_n$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{a}_n$ der Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$:

$a_n=\frac{n^2\cdot \cos \left(\frac{n\cdot \pi }{2}\right)+1}{n+1}+\sin \left(\frac{(2\cdot n+1)\cdot \pi }{2}\right)$.

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Lösungsvorschlag

Hier ist wichtig zu wissen, dass $\sin$ und $\cos$ sich nach $2\pi$ wiederholen. Das heißt, es reicht, eine Fallunterscheidung für 4 Fälle zu machen, und deckt damit die Folge vollständig ab.

$n=0$: $\cos (n\frac{\pi }{2})=1$, $\sin \frac{(2n+1)\pi }{2}=1$

$n=1$: $\cos (n\frac{\pi }{2})=0$, $\sin \frac{(2n+1)\pi }{2}=-1$

$n=2$: $\cos (n\frac{\pi }{2})=-1$, $\sin \frac{(2n+1)\pi }{2}=1$

$n=3$: $\cos (n\frac{\pi }{2})=0$, $\sin \frac{(2n+1)\pi }{2}=-1$

$n=0mod4$

$a_n=\frac{n^{2}1+1}{n+1}+1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n(n+\frac{1}{n})}{n(1+\frac{1}{n})}+1=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}+1=\frac{\mathrm{\infty }+0}{1+0}+1=\mathrm{\infty }$

$n=1mod4$

$a_n=\frac{n^{2}0+1}{n+1}-1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n+1}-1=-1$

$-1$ ist also ein Häufungspunkt.

$n=2mod4$

$a_n=\frac{n^2(-1)+1}{n+1}+1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}=-\mathrm{\infty }$

$-\mathrm{\infty }$ ist also ein (unechter) Häufungspunkt. [meiner Meinung nach genauso auszuführen wie bei n=0]

$n=3mod4$

$a_n=\frac{n^{2}0+1}{n+1}-1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n+1}-1=-1$

$-1$ ist also ein Häufungspunkt.

Zusammengefasst gilt also:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{a}_n=\mathrm{\infty }$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{a}_n=-\mathrm{\infty }$
• Häufungspunkte: $-\mathrm{\infty },-1,\mathrm{\infty }$

-- Berti933 (Diskussion) 16:59, 15. Apr. 2015 (CEST)

Anmerkung

Nachdem die Folge periodisch auf und ab geht und die Amplitude stetig steigt (uneigentlich konvergent gegen + und - unendlich), müssten doch sämtliche reelle Zahlen Häufungswerte sein?

Siehe auch Matheboard: [1]

Nein, es sind nicht alle rellen Zahlen Häufungspunkte, da wir mit der Folge nicht alle Indizes darstellen, sondern nur die natürlichen Zahlen. Diese liefern konkrete Punkte, die entweder direkt auf -1 liegen oder gegen +- unendlich konvergieren.

Lösungsvorschlag von Padraig

Siehe auch https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_2_2022S.pdf für meinen eher ausführlich erklärten Lösungsvorschlag.

Hilfreiches von Har203

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Häufungspunkt einer Folge

Ein Punkt $p$ heißt Häufungspunkt oder Häufungswert einer Folge von Punkten, falls in jeder noch so kleinen Umgebung] des Punktes unendlich viele Folgenglieder liegen.

[*]Hauptseite Häufungspunkt

Limes inferior / superior

Folgen reeller Zahlen
Sei $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge reeller_Zahlen. Dann ist der Limes inferior von $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definiert als

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{x}_n:=\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}\underset{k\ge n}{inf}{x}_k=sup\{inf\{x_k:k\ge n\}:n\in \mathbb{N}\}.$

Analog ist der Limes superior von $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definiert als

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{x}_n:=\underset{n\in \mathbb{N}}{inf}\underset{k\ge n}{sup}{x}_k=inf\{sup\{x_k:k\ge n\}:n\in \mathbb{N}\}.$

Dabei stehen $inf$ und $sup$ für Infimum_und_Supremum.

Äquivalent ist die folgende Definition:

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{x}_n& :=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(sup\{x_k:k\ge n\}),\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{x}_n& :=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(inf\{x_k:k\ge n\}).\end{array}$

Die Grenzwerte existieren, da monotone Folgen in den erweiterten reellen Zahlen konvergent sind.
[*] Hauptartikel Limes superior und Limes inferior

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{a}_n$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{a}_n$ der Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$:

Wohldefiniert

Der Nenner der Folge $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ ist mit $n+1,n\ge 0,n\in \mathbb{N}$ für alle Folgenglieder definiert. Weiters ist der $\sim ()$ und $\cos \left(\right)$ überall definiert. Daher ist diese Folge für alle Folgenglieder definiert.

Folge

$a_n=\frac{n^2\cdot \cos \left(\frac{n\cdot \pi }{2}\right)+1}{n+1}+\sin \left(\frac{(2\cdot n+1)\cdot \pi }{2}\right)$.

Wir werden diese Folge vorab in zwei Teile zerteilen und beide separat betrachten:

• $g(n)=\frac{n^2\cdot \cos \left(\frac{n\cdot \pi }{2}\right)+1}{n+1}=\frac{n^2\cdot \cos (n\cdot \frac{\pi }{2})+1}{n+1}=\frac{n^2\cdot r_n+1}{n+1}=\frac{n\cdot r_n+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}$

• Für den Ausdruck $\cos (n\cdot \frac{\pi }{2})$ bilden wir eine Folge $⟨r_n{⟩}_{n\ge 0}$ mit $s\in {\mathbb{N}}_0:$

$r_n=\{\begin{array}{ccccc}nmod4\equiv 0:& r_n=1& n^2\cdot r_n=n^2& \to \text{ die Werte wiederholen sich nicht}& \text{Wertemenge}:\bigcup _{s=0}^{\mathrm{\infty }}\{(4\cdot s{)}^2\}\\ nmod4\equiv 1:& r_n=0& n^2\cdot r_n=0& \to \text{ der Wert }0\text{ wiederholt sich}& \text{Wertemenge}:\bigcup _{s=0}^{\mathrm{\infty }}\{0\cdot (2\cdot s+1)\}\\ nmod4\equiv 2:& r_n=-1& n^2\cdot r_n=-n^2& \to \text{ die Werte wiederholen sich nicht}& \text{Wertemenge}:\bigcup _{s=0}^{\mathrm{\infty }}\{-((4\cdot s+2{)}^2)\}\\ nmod4\equiv 3:& r_n=0& n^2\cdot r_n=0& \to \text{ der Wert }0\text{ wiederholt sich}& \text{Wertemenge}:\bigcup _{s=0}^{\mathrm{\infty }}\{0\cdot (2\cdot s+1)\}\\ \text{Periode}:n=4,& n\in \mathbb{N}\end{array}$

Die Teilfolge $n=4\cdot k$ divergiert gegen $+\mathrm{\infty }:g(4\cdot k)\to +\mathrm{\infty }⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}g(n)=+\mathrm{\infty },k\in {\mathbb{N}}_0$.

Die Teilfolge $n=4\cdot k+2$ divergiert gegen $-\mathrm{\infty }:g(4\cdot k+2)\to -\mathrm{\infty }⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}g(n)=-\mathrm{\infty },k\in {\mathbb{N}}_0$.

• Für den Ausdruck $g(n)$ erhalten wir$:$

$g(n):\{\begin{array}{ccccc}nmod4\equiv 0:& r_n=1& n^2\cdot r_n=n^2& g(n)=\frac{n^2+1}{1+n}& \text{kein Häufungspunkt: divergiert gegen }+\mathrm{\infty }.\\ nmod4\equiv 1:& r_n=0& n^2\cdot r_n=0& g(n)=\frac{1}{1+n}& \text{Häufungspunkt }0.\\ nmod4\equiv 2:& r_n=-1& n^2\cdot r_n=-n^2& g(n)=\frac{-n^2+1}{1+n}& \text{kein Häufungspunkt: divergiert gegen }-\mathrm{\infty }.\\ nmod4\equiv 3:& r_n=0& n^2\cdot r_n=0& g(n)=\frac{1}{1+n}& \text{Häufungspunkt }0.\\ \text{Periode}:n=4,& n\in \mathbb{N}\end{array}$

• Häufungspunkt von $g(n)=\{0\}$

• $h(n)=\sin \left(\frac{(2\cdot n+1)\cdot \pi }{2}\right)=\sin (\frac{2\cdot n\cdot \pi }{2}+\frac{\pi }{2})=\sin ((n\cdot \pi )+\frac{\pi }{2})$.

• Für den Ausdruck $\sin ((n\cdot \pi )+\frac{\pi }{2})$ bilden wir eine Folge $⟨t_n{⟩}_{n\ge 0}$ mit$:$
• $\sin (n\cdot \pi +\frac{\pi }{2}):\{\begin{array}{ccc}nmod4\equiv 0:& t_n=1& \text{Häufungspunkt }1.\\ nmod4\equiv 1:& t_n=-1& \text{Häufungspunkt }-1.\\ nmod4\equiv 2:& t_n=1& \text{Häufungspunkt }1.\\ nmod4\equiv 3:& t_n=-1& \text{Häufungspunkt }-1.\\ \text{Periode}:n=4,& n\in \mathbb{N}.\end{array}$

$⟹h(n)=\sin (n\cdot \pi +\frac{\pi }{2})=(-1{)}^n$

• Häufungspunkt von $h(n)=\{-1,+1\}$

• Zusammengesetzt: $a_n=g(n)+h(n)=g(n)+(-1{)}^n$

• Für den Ausdruck $a_n=g(n)+h(n)$ erhalten wir$:$
• $a_n:\{\begin{array}{ccc}nmod4\equiv 0:& a_n=\frac{n^2+1}{1+n}+1& \text{kein Häufungspunkt }\to +\mathrm{\infty }.\\ nmod4\equiv 1:& a_n=\frac{1}{1+n}-1& \text{Häufungspunkt }-1.\\ nmod4\equiv 2:& a_n=\frac{-n^2+1}{1+n}+1& \text{kein Häufungspunkt }\to -\mathrm{\infty }.\\ nmod4\equiv 3:& a_n=\frac{1}{1+n}-1& \text{Häufungspunkt }-1.\\ \text{Periode}:n=4,n\in \mathbb{N}\end{array}$

• Häufungspunkt von $a_n=\{-1\}$

$⟹$ Das heißt diese Folge $⟨a_n{⟩}_{n\ge 0}$ hat einen Häufungspunkt und dieser ist $\{-1\}$.

Der Limes superior ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{a}_n=+\mathrm{\infty }$ und der Limes inferior ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{a}_n=-\mathrm{\infty }$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Grenzwert
• Häufungspunkt
• Infimum und Supremum

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 57

[[Kategorie:Grenzwert]