TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 57

Man zeige, dass die Folge $\langle a_{n}\rangle$ uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem $A>0$ ein $N(A)$ angebe, sodass für $n>N(A)$ immer $a_{n}>A$ gilt.
$a_{n}={\frac {n^{3}+1}{n-1}}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vorgehensweise bei der Lösung des folgenden Beispiels lässt sich hier eins zu eins anwenden:
TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 58

Lösungsvorschlag von Padraig[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_1_2022S.pdf für meinen Lösungsansatz.

-- Saturday 26.03.2022 08:50 (CEST)

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 57.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$ , falls in jeder $\epsilon$ -Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$ (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenz einer Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$ !) gilt:
- $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
- $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
$\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 01:51, 8. Mär. 2026 (CET)

Man zeige, dass die Folge $\langle a_{n}\rangle$ uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem $A>0$ ein $N(A)$ angebe, sodass für $n>N(A)$ immer $a_{n}>A$ gilt.

$a_{n}={\frac {n^{3}+1}{n-1}}$

Bei diesem Beispiel geht es primär darum, zu zeigen, dass die Folge uneigentlich konvergiert.

Bei der Funktion $N(A)\in \mathbb {N}$ geht es darum, eine Abschätzung zu finden, die angibt, dass für alle $n>N(A)$ gilt $a_{n}>A$ . Diese Funktion muss nicht die genaue Schranke sein, ab welchem Index diese Eigenschaft gilt.

Aber der Umkehrschluss muss gelten, dass ab diesem Index für alle $a_{n}$ gilt $\colon \,a_{n}>A$ . Das steht auch genauso in der Angabe.

Außerdem wäre für ein beliebiges $A$ der Ausdruck $A<{\frac {n^{3}+1}{n-1}}$ als kubische Gleichung mit beliebigen $A>0,A\in \mathbb {R}$ nur schwer lösbar.

Wir schauen uns einmal die Konvergenz dieser Folge an. Wir wählen für $n$ den Bereich $n\geq 2,n\in \mathbb {N}$ , da durch $(n-1)$ dividiert wird.

{\begin{alignedat}{1}&a_{n}={\frac {n^{3}+1}{n-1}}=(n^{3}+1)/(n-1)=(n^{2}+1/n)/(1-1/n).\\[1em]&\lim _{n\to \infty }\,(n^{2}+1/n)/(1-1/n)=(n^{2}+0)/(1-0)=(n^{2}/1)=n^{2},\quad \lim _{n\to \infty }\,n^{2}=+\infty .\end{alignedat}}

D.h., dass diese Folge uneigentlich konvergiert, sprich divergiert gegen $\pm \infty$ , hier gegen $+\infty$ .

Schauen wir uns die ersten Folgenglieder an. Die erste Spalte gibt $n={\sqrt {A}}$ an, die zweite den Wert von ${\frac {n^{3}+1}{n-1}}$ und die dritte $A=n^{2}$ .

{\begin{array}{|r|r|r|c|r|r|r|c|r|r|r|}\hline n={\sqrt {A}}&{\frac {n^{3}+1}{n-1}}&A=n^{2}&\,&n={\sqrt {A}}&{\frac {n^{3}+1}{n-1}}&A=n^{2}&\,&n={\sqrt {A}}&{\frac {n^{3}+1}{n-1}}&A=n^{2}\\\hline 2&9,0000&4&\,&3&14,0000&9&\,&4&21,6667&16\\\hline 5&31,5000&25&\,&6&43,4000&36&\,&7&57,3333&49\\\hline 8&73,2857&64&\,&9&91,2500&81&\,&10&111,2222&100\\\hline 11&133,2000&121&\,&12&157,1818&144&\,&13&183,1667&169\\\hline 14&211,1538&196&\,&15&241,1429&225&\,&20&421,1053&400\\\hline 21&463,1000&441&\,&30&931,0690&900&\,&50&2551,0408&2500\\\hline 75&5701,0270&5625&\,&100&10101,0202&10000&\,&150&22651,0134&22500\\\hline 200&40201,0101&40000&\,&300&90301,0067&90000&\,&500&250501,0040&250000\\\hline \end{array}}

Wir stellen nun die Funktion $N(A)$ auf:

Sei $A>0$ beliebig. Wir suchen eine Funktion $N(A)\in \mathbb {N}$ , sodass für alle $n>N(A)\,$ gilt:

a_{n}={\frac {n^{3}+1}{n-1}}>A

.

Für $n\geq 2\,$ gilt:

a_{n}={\frac {n^{3}+1}{n-1}}>{\frac {n^{3}}{n}}=n^{2}>A

.

Beweis:

{\frac {n^{3}+1}{n-1}}>{\frac {n^{3}}{n}}=n^{2}\implies (n^{3}+1)>n^{2}\cdot (n-1)=n^{3}-n^{2}\implies 1>(-n^{2}).\quad {\color {green}\surd }

Damit genügt bereits die Bedingung:

n^{2}>A\implies n>{\sqrt {A}}

.

Für die Werte von $A$ haben wir die Auswahl von beliebigen Werten $A>0$ . Wir setzen daher die untere Indexgrenze mit $n=2$ fest:

Wir definieren nun die Funktion $N(A)$ :

N(A)=\max(2,\lfloor \,{\sqrt {A}}\,\rfloor )

.

Dann gilt für alle n > N(A), was auch in der Angabe gefordert wurde:

n>N(A)\implies n>{\sqrt {A}}\implies n^{2}>A\implies a_{n}>A

.

$\implies$ Die Folge konvergiert uneigentlich gegen $+\infty$ und die Funktion $N(A)$ erfüllt die Anforderungen. $\quad \qquad \blacksquare$

Probe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir wollen nun eine Probe durchführen. Dafür wählen wir ein beliebiges $A>0,\,A\in \mathbb {R}$ . Z.B. $A=16$ .

In der oberen Tabelle suchen wir in der ersten Spalte den entsprechenden Wert für $n_{1}=\max(2,\lfloor \,{\sqrt {A}}\,\rfloor )\,$ , also jene Zeile mit dem Wert ${\sqrt {16}}=4$ , der auch unserem $\,N(A)\,$ entspricht.

Da alle Folgenglieder ausgewählt werden, deren Index $i>N(A),\,i\in \mathbb {N} \,$ gilt, müssen wir die nachfolgende Zeile mit dem Wert $n_{2}=5$ heranziehen. In dieser Zeile stehen die Werte $\,\mathbf {\color {green}n_{2}=5,\quad {\frac {n_{2}^{3}+1}{n_{2}-1}}=31,5,\quad n_{2}^{2}=25} \,$ .

Diese Zeile besagt, dass sich zu diesem $A=16\,$ ab dem Index $i>N(A)=4,\,i\in \mathbb {N} \,$ , also ab dem Index $n_{2}=N(A)+1=n_{1}+1=5\,$ , garantiert alle $a_{i}\geq {\frac {n_{2}^{3}+1}{n_{2}-1}}=31,5>n_{2}^{2}=25>A=16\,$ befinden.

Anmerkung: Das ist vollkommen richtig:
- Bei $n_{1}=3\,$ sind beide Grenzen mit $\,{\frac {n_{1}^{3}+1}{n_{1}-1}}=14,0\,$ und $\,n_{1}^{2}=9\,$ kleiner als $A=16$ .
- Bei $n_{1}=4\,$ ist die erste Grenze mit $\,{\frac {n_{1}^{3}+1}{n_{1}-1}}\approx 21,7\,$ richtig, aber die Abschätzung $n_{1}^{2}=16>A=16$ ist bereits falsch.