TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 56

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie $\limsup _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ und $\liminf _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ der Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$:

$a_{n}={\frac {n^{2}\cdot \cos \left({\frac {n\cdot \pi }{2}}\right)+1}{n+1}}+\sin \left({\frac {(2\cdot n+1)\cdot \pi }{2}}\right)$.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Hier ist wichtig zu wissen, dass $\sin$ und $\cos$ sich nach $2\pi$ wiederholen. Das heißt, es reicht, eine Fallunterscheidung für 4 Fälle zu machen, und deckt damit die Folge vollständig ab.

$n=0$: $\cos(n{\frac {\pi }{2}})=1$, $\sin {\frac {(2n+1)\pi }{2}}=1$

$n=1$: $\cos(n{\frac {\pi }{2}})=0$, $\sin {\frac {(2n+1)\pi }{2}}=-1$

$n=2$: $\cos(n{\frac {\pi }{2}})=-1$, $\sin {\frac {(2n+1)\pi }{2}}=1$

$n=3$: $\cos(n{\frac {\pi }{2}})=0$, $\sin {\frac {(2n+1)\pi }{2}}=-1$

$n=0\mod 4$

$a_{n}={\frac {n^{2}1+1}{n+1}}+1$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n(n+{\frac {1}{n}})}{n(1+{\frac {1}{n}})}}+1=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+{\frac {1}{n}}}{1+{\frac {1}{n}}}}+1={\frac {\infty +0}{1+0}}+1=\infty$

$n=1\mod 4$

$a_{n}={\frac {n^{2}0+1}{n+1}}-1$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}-1=-1$

$-1$ ist also ein Häufungspunkt.

$n=2\mod 4$

$a_{n}={\frac {n^{2}(-1)+1}{n+1}}+1$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {-1+{\frac {1}{n^{2}}}}{{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}}}=-\infty$

$-\infty$ ist also ein (unechter) Häufungspunkt. [meiner Meinung nach genauso auszuführen wie bei n=0]

$n=3\mod 4$

$a_{n}={\frac {n^{2}0+1}{n+1}}-1$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}-1=-1$

$-1$ ist also ein Häufungspunkt.

Zusammengefasst gilt also:

• $\limsup _{n\to \infty }a_{n}=\infty$
• $\liminf _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$
• Häufungspunkte: $-\infty ,-1,\infty$

-- Berti933 (Diskussion) 16:59, 15. Apr. 2015 (CEST)

Anmerkung

Nachdem die Folge periodisch auf und ab geht und die Amplitude stetig steigt (uneigentlich konvergent gegen + und - unendlich), müssten doch sämtliche reelle Zahlen Häufungswerte sein?

Siehe auch Matheboard: [1]

Nein, es sind nicht alle rellen Zahlen Häufungspunkte, da wir mit der Folge nicht alle Indizes darstellen, sondern nur die natürlichen Zahlen. Diese liefern konkrete Punkte, die entweder direkt auf -1 liegen oder gegen +- unendlich konvergieren.

Lösungsvorschlag von Padraig

Siehe auch https://vowi.fsinf.at/wiki/Datei:TU_Wien-Analysis_UE_(diverse)_-_AnalysisUE_2_2022S.pdf für meinen eher ausführlich erklärten Lösungsvorschlag.

Hilfreiches von Har203

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Häufungspunkt einer Folge

Ein Punkt $p$ heißt Häufungspunkt oder Häufungswert einer Folge von Punkten, falls in jeder noch so kleinen Umgebung] des Punktes unendlich viele Folgenglieder liegen.

[*]Hauptseite Häufungspunkt

Limes inferior / superior

Folgen reeller Zahlen
Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller_Zahlen. Dann ist der Limes inferior von $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert als

$\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}:=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\inf\{x_{k}:k\geq n\}:n\in \mathbb {N} \}.$

Analog ist der Limes superior von $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert als

$\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}:=\inf _{n\in \mathbb {N} }\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\sup\{x_{k}:k\geq n\}:n\in \mathbb {N} \}.$

Dabei stehen $\inf$ und $\sup$ für Infimum_und_Supremum.

Äquivalent ist die folgende Definition:

${\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }x_{n}&:=\lim _{n\to \infty }(\sup\{x_{k}:k\geq n\}),\\\liminf _{n\to \infty }x_{n}&:=\lim _{n\to \infty }(\inf\{x_{k}:k\geq n\}).\end{aligned}}$

Die Grenzwerte existieren, da monotone Folgen in den erweiterten reellen Zahlen konvergent sind.
[*] Hauptartikel Limes superior und Limes inferior

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie $\limsup _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ und $\liminf _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ der Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$:

Wohldefiniert

Der Nenner der Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ ist mit $n+1,n\geq 0,\,n\in \mathbb {N}$ für alle Folgenglieder definiert. Weiters ist der $\sim ()$ und $\cos \left(\right)$ überall definiert. Daher ist diese Folge für alle Folgenglieder definiert.

Folge

$a_{n}={\frac {n^{2}\cdot \cos \left({\frac {n\cdot \pi }{2}}\right)+1}{n+1}}+\sin \left({\frac {(2\cdot n+1)\cdot \pi }{2}}\right)$.

Wir werden diese Folge vorab in zwei Teile zerteilen und beide separat betrachten:

• $g(n)={\frac {n^{2}\cdot \cos \left({\frac {n\cdot \pi }{2}}\right)+1}{n+1}}={\frac {n^{2}\cdot \cos \left(n\cdot {\frac {\pi }{2}}\right)+1}{n+1}}={\frac {n^{2}\cdot r_{n}+1}{n+1}}={\frac {n\cdot r_{n}+{\frac {1}{n}}}{1+{\frac {1}{n}}}}$

• Für den Ausdruck $\cos \left(n\cdot {\frac {\pi }{2}}\right)$ bilden wir eine Folge $\langle r_{n}\rangle _{n\geq 0}$ mit $s\in \mathbb {N} _{0}\colon \,$

$r_{n}={\begin{cases}n{\bmod {4}}\equiv 0\colon \,\quad &r_{n}=1\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=n^{2}\quad &\to {\text{ die Werte wiederholen sich nicht}}\quad &{\text{Wertemenge}}\colon \,\bigcup _{s=0}^{\infty }\,\{\,(4\cdot s)^{2}\,\}\\n{\bmod {4}}\equiv 1\colon \,\quad &r_{n}=0\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=0\quad &\to {\text{ der Wert }}0{\text{ wiederholt sich}}\quad &{\text{Wertemenge}}\colon \,\bigcup _{s=0}^{\infty }\,\{\,0\cdot (2\cdot s+1)\,\}\\n{\bmod {4}}\equiv 2\colon \,\quad &r_{n}=-1\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=-n^{2}\quad &\to {\text{ die Werte wiederholen sich nicht}}\quad &{\text{Wertemenge}}\colon \,\bigcup _{s=0}^{\infty }\,\{\,-((4\cdot s+2)^{2})\,\}\\n{\bmod {4}}\equiv 3\colon \,\quad &r_{n}=0\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=0\quad &\to {\text{ der Wert }}0{\text{ wiederholt sich}}\quad &{\text{Wertemenge}}\colon \,\bigcup _{s=0}^{\infty }\,\{\,0\cdot (2\cdot s+1)\,\}\\{\text{Periode}}\colon \;n=4,\,&n\in \mathbb {N} \end{cases}}$

Die Teilfolge $n=4\cdot k$ divergiert gegen $+\infty \colon \;g(4\cdot k)\to +\infty \implies {\color {green}\limsup _{n\to \infty }\,g(n)=+\infty },\,k\in \mathbb {N} _{0}$.

Die Teilfolge $n=4\cdot k+2$ divergiert gegen $-\infty \colon \;g(4\cdot k+2)\to -\infty \implies {\color {green}\liminf _{n\to \infty }\,g(n)=-\infty },\,k\in \mathbb {N} _{0}$.

• Für den Ausdruck $g(n)$ erhalten wir$\colon \,$

$g(n)\colon \;{\begin{cases}n{\bmod {4}}\equiv 0\colon \,\quad &r_{n}=1\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=n^{2}\quad &g(n)={\frac {n^{2}+1}{1+n}}\quad &{\text{kein Häufungspunkt: divergiert gegen }}+\infty .\\n{\bmod {4}}\equiv 1\colon \,\quad &r_{n}=0\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=0\quad &g(n)={\frac {1}{1+n}}\quad &{\text{Häufungspunkt }}0.\\n{\bmod {4}}\equiv 2\colon \,\quad &r_{n}=-1\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=-n^{2}\quad &g(n)={\frac {-n^{2}+1}{1+n}}\quad &{\text{kein Häufungspunkt: divergiert gegen }}-\infty .\\n{\bmod {4}}\equiv 3\colon \,\quad &r_{n}=0\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=0\quad &g(n)={\frac {1}{1+n}}\quad &{\text{Häufungspunkt }}0.\\{\text{Periode}}\colon \;n=4,\,&n\in \mathbb {N} \end{cases}}$

• Häufungspunkt von $g(n)=\{\,0\,\}$

• $h(n)=\sin \left({\frac {(2\cdot n+1)\cdot \pi }{2}}\right)=\sin \left({\frac {2\cdot n\cdot \pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin \left((n\cdot \pi )+{\frac {\pi }{2}}\right)$.

• Für den Ausdruck $\sin \left((n\cdot \pi )+{\frac {\pi }{2}}\right)$ bilden wir eine Folge $\langle t_{n}\rangle _{n\geq 0}$ mit$\colon \,$
• $\sin \left(n\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\colon \;{\begin{cases}n{\bmod {4}}\equiv 0\colon \,\quad &t_{n}=1\quad &{\text{Häufungspunkt }}1.\\n{\bmod {4}}\equiv 1\colon \,\quad &t_{n}=-1\quad &{\text{Häufungspunkt }}-1.\\n{\bmod {4}}\equiv 2\colon \,\quad &t_{n}=1\quad &{\text{Häufungspunkt }}1.\\n{\bmod {4}}\equiv 3\colon \,\quad &t_{n}=-1\quad &{\text{Häufungspunkt }}-1.\\{\text{Periode}}\colon \;n=4,\,&n\in \mathbb {N} .\\\end{cases}}$

$\implies {\color {green}h(n)=\sin \left(n\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\,=\,(-1)^{n}}$

• Häufungspunkt von $h(n)=\{\,-1,\,+1\}$

• Zusammengesetzt: $a_{n}=g(n)+h(n)=g(n)+(-1)^{n}$

• Für den Ausdruck $a_{n}=g(n)+h(n)$ erhalten wir$\colon \,$
• $a_{n}\colon \;{\begin{cases}n{\bmod {4}}\equiv 0\colon \,\quad &a_{n}={\frac {n^{2}+1}{1+n}}+1\quad &{\text{kein Häufungspunkt }}\to +\infty .\\n{\bmod {4}}\equiv 1\colon \,\quad &a_{n}={\frac {1}{1+n}}-1\quad &{\text{Häufungspunkt }}-1.\\n{\bmod {4}}\equiv 2\colon \,\quad &a_{n}={\frac {-n^{2}+1}{1+n}}+1\quad &{\text{kein Häufungspunkt }}\to -\infty .\\n{\bmod {4}}\equiv 3\colon \,\quad &a_{n}={\frac {1}{1+n}}-1\quad &{\text{Häufungspunkt }}-1.\\{\text{Periode}}\colon \;n=4,\,n\in \mathbb {N} \end{cases}}$

• Häufungspunkt von $a_{n}=\{\,-1\,\}$

$\implies$ Das heißt diese Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\geq 0}$ hat einen Häufungspunkt und dieser ist $\{\,-1\,\}$.

Der Limes superior ist $\limsup _{n\rightarrow \infty }\,a_{n}=+\infty$ und der Limes inferior ist $\liminf _{n\rightarrow \infty }\,a_{n}=-\infty$. $\quad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Grenzwert
• Häufungspunkt
• Infimum und Supremum

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 57

[[Kategorie:Grenzwert]