TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 65

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe.

(Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.)

$\sum (-1)^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}$

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Hilfreiches

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_{n}$, d.h. $\operatorname {sgn}(a_{n})\ =\ (-1)^{n}$, und $\left|a_{n}\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ gilt:

$\sum a_{n}$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Lösungsvorschlag

mit der Partialbruchzerlegung kommt man auf folgendes Ergebnis:

${\begin{aligned}a_{n}=&(-1)^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\\=&(-1)^{n}{\frac {2n+1+(n+1)-(n+1)}{n(n+1)}}\\=&(-1)^{n}\left({\frac {n+1}{n(n+1)}}+{\frac {2n+1-(n+1)}{n(n+1)}}\right)\\=&(-1)^{n}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)\end{aligned}}$

Die Summe bildet eine klare Teleskopsumme, bei der sich die benachbarten Terme ${\frac {1}{n+1}}$ und ${\frac {1}{n}}$ (vom Folgeglied) jeweils kürzen.

Das Konvergenzkriterium von Leibniz (Leibniz-Kriterium) besagt, dass eine alternierende Reihe konvergent ist, wenn sie für a(n) eine monoton fallende Nullfolge ist.

$s_{n}=-{\tfrac {1}{1}}-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}\dots ={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}-1$

Da ${\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\rightarrow 0$, konvergiert die Summe gegen $-1$.

Links

• WolframAlpha