TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 65

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe.

(Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.)

$\sum (-1{)}^n\frac{2n+1}{n(n+1)}$

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Hilfreiches

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_n$, d.h. $\mathrm{sgn}(a_n)=(-1{)}^n$, und $\left|a_n\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$ gilt:

$\sum a_n$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Lösungsvorschlag

mit der Partialbruchzerlegung kommt man auf folgendes Ergebnis:

$\begin{array}{cc}{a}_n=& (-1{)}^n\frac{2n+1}{n(n+1)}\\ =& (-1{)}^n\frac{2n+1+(n+1)-(n+1)}{n(n+1)}\\ =& (-1{)}^n(\frac{n+1}{n(n+1)}+\frac{2n+1-(n+1)}{n(n+1)})\\ =& (-1{)}^n(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1})\end{array}$

Die Summe bildet eine klare Teleskopsumme, bei der sich die benachbarten Terme $\frac{1}{n+1}$ und $\frac{1}{n}$ (vom Folgeglied) jeweils kürzen.

Das Konvergenzkriterium von Leibniz (Leibniz-Kriterium) besagt, dass eine alternierende Reihe konvergent ist, wenn sie für a(n) eine monoton fallende Nullfolge ist.

$s_n=-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\dots =\frac{(-1{)}^n}{n+1}-1$

Da $\frac{(-1{)}^n}{n+1}\to 0$, konvergiert die Summe gegen $-1$.

Links

• WolframAlpha