TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 108

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(a) $a_{n}=O(1)\Longleftrightarrow (a_{n})$ ist beschränkt.

(b) $a_{n}=o(1)\Longleftrightarrow (a_{n})$ ist eine Nullfolge.

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Hilfreiches

Landau-Symbole

Seien $(a_{n})_{n\geq 0}$ und $(b_{n})_{n\geq 0}$ Folgen. Dann schreibt man für $n\to \infty$:

1. (i) $a_{n}=O(b_{n})$, falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right|\leq C$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$ gilt.
2. (ii) $a_{n}=o(b_{n})$, falls $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0$ gilt.
3. (iii) $a_{n}\sim b_{n}$, falls $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1$ gilt.

  (Definition 4.62)

Lösungsvorschlag von Manül

(a) Definition: $|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}|\leq C\Rightarrow a_{n}=O(b_{n})$

$\Rightarrow |{\frac {a_{n}}{1}}|\leq C$ = beschränkt mit C

(b) Definition: $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to 0\Rightarrow a_{n}=o(b_{n})$

$\Rightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{1}}\to 0$ = Nullfolge

Manül 13:39, 17. Jun 2008 (CEST)