TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 108

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(a) a_n = O(1) \Longleftrightarrow (a_n) ist beschränkt.

(b) a_n = o(1) \Longleftrightarrow (a_n) ist eine Nullfolge.

Hilfreiches[edit]

Landau-Symbole

Seien (a_{n})_{n\geq 0} und (b_{n})_{n\geq 0} Folgen. Dann schreibt man für n \to \infty:

  1. (i) a_{n}=O(b_{n}), falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass \left | \frac{a_{n}}{b_{n}} \right |\leq C für fast alle n\in \mathbb{N} gilt.
  2. (ii) a_{n}=o(b_{n}), falls \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 0 gilt.
  3. (iii) a_{n}\sim b_{n}, falls \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 1 gilt.

  (Definition 4.62)

Lösungsvorschlag von Manül[edit]

(a) Definition: |\frac{a_n}{b_n}| \le C \Rightarrow a_n = O(b_n)

\Rightarrow |\frac{a_n}{1}| \le C = beschränkt mit C

(b) Definition: \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \to 0 \Rightarrow a_n = o(b_n)

\Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{1} \to 0 = Nullfolge

Manül 13:39, 17. Jun 2008 (CEST)