TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 11

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Man zeige, dass die Folge konvergiert, indem man zu beliebigem ein angebe.

Anleitung: Zeigen Sie, dass aus die Ungleichung folgt. Die erste Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.

Hilfreiches[edit]

EDIT: Regel von l Hospital darf nur bei Funktionen genutzt werden. Daher hat diese Regel beim Brechnen von Grenzwerten von Folgen nichts zu suchen!

Regel_von_l'Hospital
Regel von l'Hospital[Bearbeiten, Wikipedia, 5.35 Satz]

Sind die Funktionen und in einer Umgebung von

  • differenzierbar und
  • gilt und
  • existiert ,

so gilt: . Eine analoge Aussage gilt für , oder auch falls .

Lösung[edit]

Wenn man setzt. Dann gilt:

Grenzwert mit Hospital[edit]

Der Grenzwert von: ist nicht ganz so leicht zu berechnen, da sowohl die obere Teilfunktion als auch die untere gegen streben.

Das heißt hier ist die Regel von de l'Hospital anzuwenden.

Praktischer Weise ist unser Fall im Buch "Mathematik für Informatik" bereits angeführt. (Auflage 3, Seite 203, Beispiel 5.36 (Anwendung der Regel von de l'Hospital), Punkt (d) )

Durch dieses Beispiel, wissen wir dass der Logarithmus für schwächer wächst als jede positive Potenz von x.

N Berechnung[edit]

Dadurch gilt:

Jetzt weiter wie Beispiel 9 und 10 (SS14)

Nachdem

1) multipliziere mit

2) dividiere durch

3) potentiere mit 2

Lösung: