TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 11

Man zeige, dass die Folge $a_{n}$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\epsilon >0$ ein $N(\epsilon )$ angebe.

$a_{n}={\frac {\ln(n)}{n}},\quad n\geq 1$

Anleitung: Zeigen Sie, dass aus $\ln(x)<{\frac {x}{2}}$ die Ungleichung $\ln(n)<{\sqrt {n}}$ folgt. Die erste Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

EDIT: Regel von l Hospital darf nur bei Funktionen genutzt werden. Daher hat diese Regel beim Brechnen von Grenzwerten von Folgen nichts zu suchen!

Regel_von_l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_{0}$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ und
• existiert $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right)$,

so gilt: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \infty$, oder auch falls $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty$.

Lösung

Wenn man $x={\sqrt {n}}$ setzt. Dann gilt:

$\ln(x)<{\frac {x}{2}}$

$\ln({\sqrt {n}})<{\frac {\sqrt {n}}{2}}$

$\ln(n^{\frac {1}{2}})<{\frac {\sqrt {n}}{2}}$

${\frac {1}{2}}*\ln(n)<{\frac {\sqrt {n}}{2}}$

$\ln(n)<{\sqrt {n}}$

Grenzwert mit Hospital

Der Grenzwert von: $a_{n}={\frac {\ln(n)}{n}}$ ist nicht ganz so leicht zu berechnen, da sowohl die obere Teilfunktion als auch die untere gegen $\infty$ streben.

Das heißt hier ist die Regel von de l'Hospital anzuwenden.

Praktischer Weise ist unser Fall im Buch "Mathematik für Informatik" bereits angeführt. (Auflage 3, Seite 203, Beispiel 5.36 (Anwendung der Regel von de l'Hospital), Punkt (d) )

Durch dieses Beispiel, wissen wir dass der Logarithmus für $x\rightarrow \infty$ schwächer wächst als jede positive Potenz von x.

N Berechnung

Dadurch gilt:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\ln(n)}{n}}=0$

Jetzt weiter wie Beispiel 9 und 10 (SS14)

$\mid {\frac {\ln(n)}{n}}\mid -a<\epsilon$

$\mid {\frac {\ln(n)}{n}}\mid <\epsilon$

Nachdem $\ln(n)<{\sqrt {n}}$

$\mid {\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {n}}*{\sqrt {n}}}}\mid <\epsilon$

$\mid {\frac {1}{\sqrt {n}}}\mid <\epsilon$

1) multipliziere mit ${\sqrt {n}}$

2) dividiere durch $\epsilon$

3) potentiere mit 2

${\frac {1}{\epsilon ^{2}}}<n$

Lösung: $N(\epsilon )={\frac {1}{\epsilon ^{2}}}$