TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 112

Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

$\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)$

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Hilfreiches

Eulersche Formel einfach

Eulersche Formel einfach

Euler'sche Formel

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Daraus folgt:

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$ $\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

Lösung

von --MatthH (Diskussion) 15:57, 7. Nov. 2015 (CET)

$\sin(u+v)={\dfrac {e^{i(u+v)}-e^{-i(u+v)}}{2i}}$

$\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)={\dfrac {(e^{iu}-e^{-iu})(e^{iv}+e^{-iv})}{4i}}+{\dfrac {(e^{iu}+e^{-iu})(e^{iv}-e^{-iv})}{4i}}=$ ${\dfrac {e^{iu+iv}+e^{iu-iv}-e^{-iu+iv}-e^{-iu-iv}+e^{iu+iv}-e^{iu-iv}+e^{-iu+iv}-e^{-iu-iv}}{4i}}={\dfrac {2e^{i(u+v)}-2e^{-i(u+v)}}{4i}}={\dfrac {e^{i(u+v)}-e^{-i(u+v)}}{2i}}$

Alternative Lösung

Folgende Lösung funktioniert ausschließlich über die eigentliche eulersche Formel ohne die zusätzlichen Folgerungen zu nutzen:

Aus der eulerschen Formel können wir schließen:

$e^{i(u+v)}=\cos(u+v)+i\sin(u+v)$

$e^{i(u+v)}$ ist das gleiche wie $e^{iu}e^{iv}$, was weiter gleich ist:

$e^{iu}e^{iv}=(\cos(u)+i\sin(u))(\cos(v)+i\sin(v))=\cos(u)\cos(v)+i\sin(u)\cos(v)+i\cos(u)\sin(v)-\sin(u)\sin(v)$

Nun können wir die beiden erhaltenen Formeln gleichsetzen:

$\cos(u+v)+i\sin(u+v)=\cos(u)\cos(v)+i\sin(u)\cos(v)+i\cos(u)\sin(v)-\sin(u)\sin(v)$

Nun können wir eine Art Koeffizientenvergleich machen. Was auf der linken Seite bei einem i steht, muss gleich sein, wie das was auf der rechten Seite vor einem i steht, da Sinusse und Cosinusse keine is hinzufügen können. So erhalten wir:

$\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)$

--Ryus (Diskussion) 12:01, 8. Nov. 2015 (CET)