TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 112

Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

$\sin (u+v)=\sin (u)\cos (v)+\cos (u)\sin (v)$

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Hilfreiches

Eulersche Formel einfach

Eulersche Formel einfach

Euler'sche Formel

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Daraus folgt:

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

Lösung

von --MatthH (Diskussion) 15:57, 7. Nov. 2015 (CET)

$\sin (u+v)=\frac{e^{i(u+v)}-e^{-i(u+v)}}{2i}$

$\sin (u)\cos (v)+\cos (u)\sin (v)=\frac{(e^{iu}-e^{-iu})(e^{iv}+e^{-iv})}{4i}+\frac{(e^{iu}+e^{-iu})(e^{iv}-e^{-iv})}{4i}=$ $\frac{e^{iu+iv}+e^{iu-iv}-e^{-iu+iv}-e^{-iu-iv}+e^{iu+iv}-e^{iu-iv}+e^{-iu+iv}-e^{-iu-iv}}{4i}=\frac{2e^{i(u+v)}-2e^{-i(u+v)}}{4i}=\frac{e^{i(u+v)}-e^{-i(u+v)}}{2i}$

Alternative Lösung

Folgende Lösung funktioniert ausschließlich über die eigentliche eulersche Formel ohne die zusätzlichen Folgerungen zu nutzen:

Aus der eulerschen Formel können wir schließen:

$e^{i(u+v)}=\cos (u+v)+i\sin (u+v)$

$e^{i(u+v)}$ ist das gleiche wie $e^{iu}{e}^{iv}$, was weiter gleich ist:

$e^{iu}{e}^{iv}=(\cos (u)+i\sin (u))(\cos (v)+i\sin (v))=\cos (u)\cos (v)+i\sin (u)\cos (v)+i\cos (u)\sin (v)-\sin (u)\sin (v)$

Nun können wir die beiden erhaltenen Formeln gleichsetzen:

$\cos (u+v)+i\sin (u+v)=\cos (u)\cos (v)+i\sin (u)\cos (v)+i\cos (u)\sin (v)-\sin (u)\sin (v)$

Nun können wir eine Art Koeffizientenvergleich machen. Was auf der linken Seite bei einem i steht, muss gleich sein, wie das was auf der rechten Seite vor einem i steht, da Sinusse und Cosinusse keine is hinzufügen können. So erhalten wir:

$\sin (u+v)=\sin (u)\cos (v)+\cos (u)\sin (v)$

--Ryus (Diskussion) 12:01, 8. Nov. 2015 (CET)