TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 209

Für die Funktion $f(t)={\begin{cases}-1&(t\leq 1)\\t&(t>1)\end{cases}}$

berechnen Sie $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt$. Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

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Hilfreiches

Stetigkeit

Eine Funktion $f\!$ ist stetig an der Stelle $x_{0}\!$, wenn $f(x)\approx f(x_{0})$ für alle $x=x_{0}\pm \epsilon$ gilt, und $\epsilon \!$ hinreichend klein ist. (Definition 4.84)

Der Funktionswert muss also bei der Annäherung an $x_{0}$ von links gleich sein, wie bei der Annäherung von rechts:

$f(x_{0})=\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}-}{f(x)}=\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}+}{f(x)}$

Differenzierbarkeit

Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt $x_{0}$, wenn

$\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ sowohl von links, als auch von rechts, existiert. (Definition 5.1)

Lösungsansatz von gitti

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)