TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 236

Man berechne:

$\int x^2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}xdx$

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Hilfreiches

Partielle Integration

Partielle Integration

$\int udv=uv-\int vdu$ alias $\int u(x)v^{\prime }(x)=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)$

Lösungsvorschlag von Matmö

• Schritt 1

$u(x)=x^2,u^{\prime }(x)=2x,v(x)=\sin (x),v^{\prime }(x)=\cos (x)$

$\int x^2\cos (x)dx=x^2\sin (x)-2\int x\sin (x)dx$

• Schritt 2

$u(x)=x,u^{\prime }(x)=1,v(x)=-\cos (x),v^{\prime }(x)=\sin (x)$

$\int x\sin (x)dx=-x\cos (x)-\int -\cos (x)dx$

• Schritt 3

$\int -\cos (x)dx=-\sin (x)$

• Zusammenbauen
  • $\int x^2\cos (x)dx=x^2\sin (x)-2(-x\cos (x)+\sin (x))+C$
  • vereinfachen und zusammenfassen $\int x^2\cos (x)dx=x^2\sin (x)-2\sin (x)+2x\cos (x))+C=(x^2-2)\sin (x)+2x\cos (x)+C$

Links

• WolframAlpha
• TU_Wien:Mathematik_2_UE_(diverse)/Übungen_WS07/Beispiel_36