TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 219

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Man berechne:

\int x^2 \mathrm{cos} \ x \ dx

Hilfreiches[Bearbeiten]

Partielle Integration
Partielle Integration[Bearbeiten, WP, 5.41 Satz]

\int u\;dv=uv-\int v\;du alias \int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)

Lösungsvorschlag von Matmö[Bearbeiten]

  • Schritt 1

u(x) = x^2,\quad u'(x) = 2x,\quad v(x) = \sin(x),\quad v'(x) = \cos(x)

\int x^2\;\cos(x) dx =  x^2  \sin x(x) - 2 \int x \sin(x) dx

  • Schritt 2

u(x) = x, u'(x) = 1, v(x) = -\cos(x), v'(x) = \sin(x)

\int x \sin(x) dx = - x \cos(x) - \int \cos(x) dx

  • Schritt 3

\int \cos(x) dx = - \sin(x)

  • Zusammenbauen
    • \int x^2\;\cos(x) dx =  x^2  \sin x(x) - 2 (- x \cos(x) + \sin(x) ) + C
    • vereinfachen und zusammenfassen \int x^2\;\cos(x) dx =  x^2  \sin(x) - 2 \sin(x) + 2x \cos(x) ) + C = (x^2 - 2) \sin(x) + 2x \cos(x) + C

Links[Bearbeiten]