TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 236

Man berechne:

$\int x^{2}\mathrm {cos} \ x\ dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Partielle Integration

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$ alias $\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$

Lösungsvorschlag von Matmö

• Schritt 1

$u(x)=x^{2},\quad u'(x)=2x,\quad v(x)=\sin(x),\quad v'(x)=\cos(x)$

$\int x^{2}\;\cos(x)dx=x^{2}\sin(x)-2\int x\sin(x)dx$

• Schritt 2

$u(x)=x,u'(x)=1,v(x)=-\cos(x),v'(x)=\sin(x)$

$\int x\sin(x)dx=-x\cos(x)-\int -\cos(x)dx$

• Schritt 3

$\int -\cos(x)dx=-\sin(x)$

• Zusammenbauen
  • $\int x^{2}\;\cos(x)dx=x^{2}\sin(x)-2(-x\cos(x)+\sin(x))+C$
  • vereinfachen und zusammenfassen $\int x^{2}\;\cos(x)dx=x^{2}\sin(x)-2\sin(x)+2x\cos(x))+C=(x^{2}-2)\sin(x)+2x\cos(x)+C$

Links

• WolframAlpha
• TU_Wien:Mathematik_2_UE_(diverse)/Übungen_WS07/Beispiel_36