TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 286

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

$\sum _{n\geq 1}f(n)=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{(1+n^{2})\;\arctan n}}$

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Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Integralkriterium

Integralkriterium

Sei $f:[1,\infty )\to \mathbb {R}$ eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral $\int _{1}^{\infty }f(x)\;dx$ genau dann konvergent, wenn die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ konvergiert.

Lösungsvorschlag von Lit

von --Literallie (Diskussion) 23:25, 12. Jun. 2018 (CEST)

Das Integralkriterium besagt: (siehe oben)

Da es sich um eine logische Äquivalenz handelt, können wir die Richtung umdrehen. Wir betrachten also das Integral $\int _{1}^{\infty }f(x)\;dx$, wobei $f(x)={\frac {1}{(1+n^{2})\;\arctan n}}$.

Die Funktion wird offensichtlich nicht negativ, da der Arkustangens für positive Argumente positiv ist und wir nur $n\geq 1$ betrachten. Die Funktion ist monoton fallend, da sowohl $1+n^{2}$ als auch $\arctan n$ monoton steigende Funktionen sind und wir den Kehrwert der Produkte betrachten. (Das könnte man sicher noch formal beweisen wenn man motiviert ist)

Für das bestimmte uneigentliche Integral müssen wir (für die Anwendung des Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung) zunächst das unbestimmte Integral berechnen. Dafür substituieren wir:

$u=\arctan(x)\implies {\frac {du}{dx}}={\frac {1}{x^{2}+1}}\implies (x^{2}+1)\;du=dx$
$\int {\frac {1}{(1+x^{2})\;u}}\;(x^{2}+1)\;du=\int {\frac {1}{u}}\;du=\ln(|u|)=\ln(|\arctan(x)|)$

Jetzt setzen wir in das uneigentliche Integral ein:

$\int _{1}^{\infty }f(x)=\lim \limits _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{(1+x^{2})\;\arctan(x)}}\;dx=$
$\lim \limits _{b\to \infty }\ln(|\arctan(b)|)-\ln(|\arctan(1)|)=\lim \limits _{b\to \infty }\ln(|\arctan(b)|)-\ln(\pi /4)$

Bekanntlich konvergiert der Arkustagens gegen ${\frac {\pi }{2}}$: (WolframAlpha)

$\lim \limits _{b\to \infty }\ln(|\arctan(b)|)-\ln(\pi /4)=$
$\ln(\pi /2)-\ln(\pi /4)=\ln \left({\frac {\pi /2}{\pi /4}}\right)=\ln \left({\frac {4\pi }{2\pi }}\right)=\ln(2)\approx 0.693$

Damit konvergiert das Integral und damit auch die Summe. Wogegen, wissen wir nicht, das ist aber auch nicht gefragt.

Links

• Wolfram Alpha
• Integralrechner; Input: 1/(1+x^2)*1/(arctan(x))