TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 317

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Man bestimme die partiellen Ableitungen:

f(x,y)=\arctan\left(\frac{2x^3y}{y-x^3}\right)

Hilfreiches[Bearbeiten]

Kettenregel[Bearbeiten, WP, 5.05 Satz]

Verkettungsregel der Differenziation:

\biggl(f\bigl(g(x)\bigr)\biggr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)

Ableitung des Arkustangens[Bearbeiten, WP]

\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}

Folgt aus der Umkehrregel.

Quotientenregel[Bearbeiten, WP, 5.05 Satz]

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Zunächst die Ableitung nach x:


\begin{align}
f'_x = \frac{1}{1 + \left ( \frac{2x^3y}{y-x^3} \right )^2} &\cdot \frac{6x^2y(y-x^3) - 2x^3y(-3x^2)}{(y-x^3)^2}\\
= \frac{1}{\frac{(y-x^3)^2 + (2x^3y)^2}{(y-x^3)^2}} &\cdot \frac{6x^2y^2 - 6x^5y + 6x^5y}{(y-x^3)^2} \\
= \frac{(y-x^3)^2}{(y-x^3)^2 + (2x^3y)^2} &\cdot \frac{6x^2y^2}{(y-x^3)^2}\\
= \frac{6x^2y^2}{(y-x^3)^2 + (2x^3y)^2}
\end{align}

Danach die Ableitung nach y:


\begin{align}
f'_y = \frac{1}{1 + \left ( \frac{2x^3y}{y-x^3} \right )^2} &\cdot \frac{2x^3(y-x^3) - 2x^3y}{(y-x^3)^2}\\
= \frac{(y-x^3)^2}{(y-x^3)^2 + (2x^3y)^2} &\cdot \frac{2x^3y - 2x^6 - 2x^3y}{(y-x^3)^2}\\
= \frac{-2x^6}{(y-x^3)^2 + (2x^3y)^2}
\end{align}

Links[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele:

Quelle[Bearbeiten]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 22