TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 319

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man bestimme die Funktionalmatrix zu  f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2:

f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}={\sin(x+y-z) \choose \cos(\frac{xy}{z})}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Funktionalmatrix
Funktionalmatrix[Bearbeiten]

Definition der Funktionalmatrix einer mehrdimensionalen Funktion f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, d.h. f(x_1,\ldots,x_n)\doteq\begin{pmatrix}f_1(x_i)\\\vdots\\f_m(x_i)\end{pmatrix}:

J_f=\frac{\partial f}{\partial x}= 
\begin{pmatrix}
 \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & 
 \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & 
 \ldots & 
 \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
 \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & 
 \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & 
 \ldots & 
 \frac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix}

Lösungsvorschlag von Osaic[Bearbeiten]

Die Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix) ist eine Matrix der partiellen Ableitungen der Funktionen.

f'(x,y,z) = \left( \frac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}} \right)_{i = 1 \ldots 2,j = 1 \ldots 3}

Nun muss man alle partiellen Ableitungen bilden.


g(x,y,z) = sin(x+y-z)


g_x = cos(x+y-z)


g_y = cos(x+y-z)


g_z = -cos(x+y-z)


h(x,y,z) = \cos(\tfrac{xy}{z})


h_x = -sin(\frac{xy}{z}) \cdot \frac{y}{z}


h_y = -sin(\frac{xy}{z}) \cdot \frac{x}{z}


h_z = sin(\frac{xy}{z}) \cdot \frac{xy}{z^2}

//Anmerkung koDiacc: Ableitung nach z von xy/z ist = -xy/z^2 und deswegen +sin(...)

Nun müssen die Ableitungen noch in die Matrix eingesetzt werden. Das funktioniert nach folgendem Schema.

J_t = \begin{pmatrix} g_x & g_y & g_z \\ h_x & h_y & h_z \end{pmatrix}

Für das Beispiel bedeutet dies:

J_t = \begin{pmatrix} cos(x+y-z) & cos(x+y-z) & -cos(x+y-z) \\ -sin(\frac{xy}{z}) \cdot \frac{y}{z} & -sin(\frac{xy}{z}) \cdot \frac{x}{z} & sin(\frac{xy}{z}) \cdot \frac{xy}{z^2} \end{pmatrix}

Links[Bearbeiten]