TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 337

Man bestimme die Funktionalmatrix zu $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$:

$f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{x}{y^{2}z}}{x^y{z}^2})$

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Hilfreiches

Funktionalmatrix

Funktionalmatrix

Definition der Funktionalmatrix einer mehrdimensionalen Funktion $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$, d.h. $f(x_1,\dots ,x_n)\doteq \left(\begin{array}{c}{f}_1(x_i)\\ ⋮\\ f_m(x_i)\end{array}\right)$:

$J_f=\frac{\partial f}{\partial x}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \frac{\partial f_m}{\partial x_2}& \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag von Wolf-gang

(1 zu 1 kopiert von Oasics Lösungsvorschlag in TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 100 (entspricht SS08 Beispiel 103), nur Werte eingesetzt)

Die Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix) ist eine Matrix der partiellen Ableitungen der Funktionen.

$f^{\prime }(x,y,z)={\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)}_{i=1\dots 2,j=1\dots 3}$

Nun muss man alle partiellen Ableitungen bilden.

$g(x,y,z)=\frac{x}{y^2\cdot z}$

$g_x=\frac{1}{y^2\cdot z}$

$g_y=-\frac{2x}{y^3\cdot z}$

$g_z=-\frac{x}{y^2\cdot z^2}$

$h(x,y,z)=x^y\cdot z^2$

$h_x=y\cdot x^{y-1}\cdot z^2$

$h_y=x^y\cdot ln(x)\cdot z^2$

$h_z=2\cdot x^y\cdot z$

Nun müssen die Ableitungen noch in die Matrix eingesetzt werden. Das funktioniert nach folgendem Schema.

$J_f=\left(\begin{array}{ccc}{g}_x& g_y& g_z\\ h_x& h_y& h_z\end{array}\right)$

Für das Beispiel bedeutet dies:

$J_f=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{y^2\cdot z}& -\frac{2x}{y^3\cdot z}& -\frac{x}{y^2\cdot z^2}\\ y\cdot x^{y-1}\cdot z^2& x^y\cdot ln(x)\cdot z^2& 2\cdot x^y\cdot z\end{array}\right)$

Links

• Funktionalmatrix auf Wikipedia

• Diskussion im Informatikforum

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