TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 321

Man bestimme die Funktionalmatrix zu $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2$ :
$f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}={\sqrt{\frac{x-z}{y+1}} \choose z\cdot e^{-\frac{x}{y}}}$

Hilfreiches[edit]

Funktionalmatrix

Funktionalmatrix[edit]

Definition der Funktionalmatrix einer mehrdimensionalen Funktion $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ , d.h. $f(x_1,\ldots,x_n)\doteq\begin{pmatrix}f_1(x_i)\\\vdots\\f_m(x_i)\end{pmatrix}$ :

J_f=\frac{\partial f}{\partial x}= \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}

Lösung[edit]

lt. Prof Urbanek

Zuerst ersetzt man die 2 Funktionen durch einen allgemeinen Ausdruck g und h. Die Funktionsmatrix A ist dann eine 3*2 Matrix (Spalten, Reihen) und leitet dann die Funktionen jeweils nach x, y und z ab.

   $f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}={g \choose h}$  gibt die Funktionalmatrix  A  $={g.dx | g.dy | g.dz \choose h.dx | h.dy | h.dz}$

Nächster Schritt ist das Ableiten der Funktionen nach x,y,z, äußere Ableitung mal der inneren Ableitung.

g.dx =   $\frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot\frac{1}{y+1}$     g.dy =   $\frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot\frac {-x+z}{(y+1)^2}$      g.dz =   $\frac{1}{2\sqrt{\frac{y+1}{x-z}}}\cdot\frac{-1}{y+1}$

h.dx =   $z\cdot e^{-\frac{x}{y}} \cdot -\frac{1}{y}$         h.dy =   $z\cdot e^{-\frac{x}{y}} \cdot \frac{x}{y^2}$            h.dz =   $e^{-\frac{x}{y}}$