TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 34

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert.)

$a_{n}={\frac {2n^{3}-5n^{2}+7}{2n^{3}-5n+7}}$

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Lösungsvorschlag

Zähler und Nenner sind uneigentlich konvergente Folgen und müssen deshalb zuerst ein bisschen umgeformt werden:

$a_{n}={\frac {2n^{3}-5n^{2}+7}{2n^{3}-5n+7}}={\frac {n^{3}(2-5{\frac {n^{2}}{n^{3}}}+{\frac {7}{n^{3}}})}{n^{3}(2-{\frac {5n}{n^{3}}}+{\frac {7}{n^{3}}})}}$

$n^{3}$ lässt sich entsprechend kürzen. Von dieser Folge kann jetzt der Grenzwert mit den bekannten Regeln berechnet werden:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{2}}=1$

Die kleinen Brüche streben gegen $0$, die Konstanten zu ihren entsprechenden Werten. Somit strebt die Folge als Ganzes gegen $1$.

-- Berti933 (Diskussion) 16:42, 15. Apr. 2015 (CEST)

Lösungsvorschlag

von --B100 (Diskussion) 00:29, 23. Mär. 2018 (CET)

(bei Prof. Länger an der Tafel gerechnet)

$a_{n}={\frac {2n^{3}-5n^{2}+7}{2n^{3}-5n+7}}={\frac {n^{3}}{n^{3}}}*{\frac {2-{\frac {5n^{2}}{n^{3}}}+{\frac {7}{n^{3}}}}{2-{\frac {5n}{n^{3}}}+{\frac {7}{n^{3}}}}}={\frac {2-{\frac {5}{n}}+{\frac {7}{n^{3}}}}{2-{\frac {5}{n^{2}}}+{\frac {7}{n^{3}}}}}\rightarrow {\frac {2-0+0}{2-0+0}}={\frac {2}{2}}=1$

Laut Prof. Länger muss man jetzt noch zeigen, dass die Funktion für alle $n$ definiert ist:

Ein Bruch ist nicht definiert, wenn der Nenner 0 wird.

$2n^{3}-5n+7=0$

$a_{0}=7$

$a_{1}=4$

$a_{2}=13$

$a_{3}=46$

Es ist anzunehmen, dass die Folge ab $n=1$ streng monoton steigt und somit nicht mehr $0$ werden kann. Das ist noch zu beweisen:

$a_{n}<a_{n+1}$

$2n^{3}-5n+7<2(n+1)^{3}-5(n+1)+7$

$2n^{3}-5n+7<2(n^{3}+3n+3n+1)-5(n+1)+7$

$2n^{3}-5n+7<2n^{3}+6n+6n^{2}+2-5n-5+7$

$3<6n^{2}+6n$

$1<2n^{2}+2n$

Das gilt trivialerweise.