TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 365

Bestimmen sie einen Wert $a\in N$ sodaß die quadratische Form $3x^2+axy+2xz+2y^2+2yz+2z$ positiv definit ist.

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Hilfreiches

Hauptminorenkriterium

Hauptminorenkriterium

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren $M_k$ für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right)$

1. Hauptminor: $\left|\begin{array}{c}4\end{array}\right|$

2. Hauptminor: $\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right|$

3. Hauptminor: $\left|\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 2& 3\\ 2& 3& 14\end{array}\right|$

Lösungsversuch Me.Name

Im orangen Folterbuch findet man hierzu etwas im Kapitel 6.1 Funktionen in mehreren Variablen und das Beispiel 6.1f ist in etwa die Angabe.

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1. Symetrische Matrix gestimmen:

$q(x,y,z)=(x,y,z)\ast \begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{ccc}?& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)\end{array}\ast \begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\end{array}=3x^2+axy+2xz+2y^2+2yz+2z$

=> die Matix kann nur so: $\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{ccc}3& a/2& 1\\ a/2& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\end{array}$ aussehen.

$(x,y,z)\ast \begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{ccc}3& a/2& 1\\ a/2& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\end{array}\ast \begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\end{array}=\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{ccc}3x& ax/2& 1x\\ ay/2& 2y& 1y\\ 1z& 1z& 2z\end{array}\right)\end{array}\ast \begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\end{array}=3x^2+axy+2xz+2y^2+2yz+2z$

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2)

Eine Matrix ist positiv definit wenn alle Hauptminoren positiv sind.

1. Minor der Matrix ist $M_1=|3|=3\Rightarrow \text{positiv}$

2. Minor der Matrix ist $M_2=\begin{array}{cc}& \left|\begin{array}{cc}3& a/2\\ a/2& 2\end{array}\right|\end{array}=(3\ast 2)-(\frac{a}{2}\ast \frac{a}{2})=6-\frac{a^2}{4}>0\Rightarrow 24>a^2\Rightarrow |a|<\sqrt{24}$

3. Minor der Matrix ist $M_3=\begin{array}{cc}& \left|\begin{array}{ccc}3& a/2& 1\\ a/2& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|\end{array}=3\ast \begin{array}{cc}& \left|\begin{array}{c}2/1\\ 1/2\end{array}\right|\end{array}-\frac{a}{2}\ast \begin{array}{cc}& \left|\begin{array}{cc}a/2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|\end{array}+1\ast \begin{array}{cc}& \left|\begin{array}{cc}a/2& 2\\ 1& 1\end{array}\right|\end{array}=7-\frac{a^2}{2}+a>0\Rightarrow -a^2+2a+14>0\Rightarrow a_1=1-\sqrt{15};a_2=1+\sqrt{15}$

Also dass unsere Matix positiv definit ist muss $|a|<\sqrt{24}$ und $1-\sqrt{15}<a<1+\sqrt{15}$ erfüllen somit können wir z.B.: -2 od. 2 nehmen