TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 353

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Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 
                          1 & -3 & -7 \\
                          1 & -7 & -20 \end{pmatrix}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Hauptminorenkriterium[Bearbeiten]

Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind.
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn die Hauptminoren M_k für die geraden k positiv und für die ungeraden k negativ sind (bzw. wenn -A positiv definit ist. Das alternierende Schema entsteht durch die Auswirkungen der elementaren Spalten/Zeilenumformungen)

(führende) Hauptminoren

Zum Beispiel:

A =
\begin{pmatrix}
4 & 2 & 2\\
2 & 2 & 3\\
2 & 3 & 14
\end{pmatrix}

1. Hauptminor:  \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix}

2. Hauptminor:  \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}

3. Hauptminor:  \begin{vmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 14 \end{vmatrix}

Lösungsvorschlag von m0ru[Bearbeiten]

Anwendung des Hauptminorenkriteriums (siehe weiter unten):

M_1 = \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1

M_2 = \begin{vmatrix} -1 & 1  \\ 
                       1 & -3 \end{vmatrix} = -1\cdot -3 - 1\cdot 1 = 2

M_3 = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 
                       1 & -3 & -7 \\
                       1 & -7 & -20 \end{vmatrix} = (-1)(-3)(-20)\,+\,(1)(-7)(1)\,+\,(1)(1)(-7)\,-\,(-1)(-7)(-7)\,-\,(1)(1)(-20)\,-\,(1)(-3)(1) = -2

Aufgrund des alternierenden Schemas (siehe unten) können wir erkennen, dass die Matrix negativ definit ist und daher:  x^T \cdot A \cdot x < 0 für alle Vektoren x \in \R^3 \backslash \lbrace\mathbf{0}\rbrace